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Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 5. Vorlesung Evolutionsstrategie I Finale der Theorie der zweigliedrigen Evolutionsstrategie Handlungsregeln als.

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1 Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 5. Vorlesung Evolutionsstrategie I Finale der Theorie der zweigliedrigen Evolutionsstrategie Handlungsregeln als Ergebnis der nichtlinearen Theorie Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet

2 Algorithmus der (1 + 1) – ES mit 1/5-Erfolgsregel vergrößern für W e > 1 / 5 verkleinern für W e < 1 / 5 Für maximales

3 Mutationsschrittweite und Erfolgswahrscheinlichkeit Erfolge W e 0,49 = 1: 2,04 W e 0,16 = 1: 6,25 Höhenlinie

4 Algorithmus der (1 + 1) – ES mit 1/5-Erfolgsregel vergrößern für W e > 1 / 5 verkleinern für W e < 1 / 5 auf die Länge 1 normiert

5 Wie normiert man einen Zufallsvektor auf die Länge 1 ? Wir erwürfeln die Komponenten und bestimmen die Länge Wir dividieren durch und erhalten die normierten Zufallzahlen Frage: Wie groß ist für normalverteilte Zufallsszahlen

6 Normalverteilte Zufallszahlen z i für die Mutation der Variablen x i zizi w Wendepunkt der Kurve

7 P P Die Trefferwahrscheinlichkeitsdichte Ursprung der z -Koordinaten P P P P P P P

8 P P Zum radialen Strecken- Erwartungswert P P 3 Ursprung der z -Koordinaten

9 … Für n Dimensionen für n >> 1 Zur Schwankung der Länge

10 Wir nennen die Mutationsschrittweite Bisherige Formeln

11 Korridor Kugel Ergebnisse der nichtlinearen Theorie

12 Korridor Kugel Erweiterte Ergebnisse der nichtlinearen Theorie

13 ES-Suchschlauch im Korridor für n b2 b

14 ES-Suchschlauch im Kugelmodell für n 900 r Text

15 Allgemeines Suchbild der ES für n >> 1 sondern wegen Nicht so so

16 Algorithmus der (1 + 1) - ES Im Mittel auf die Länge 1 normiert Wir dividieren alle mit = 1 erzeugten n Zufallszahlen durch n Dann ist nach der Formel n 11 1 n n

17 Algorithmus der (1 + 1) - ES mit 1/5-Erfolgsregel Im Mittel auf die Länge 1 normiert vergrößern für W e > 1 / 5 verkleinern für W e < 1 / 5 ? Wie stark müssen wir vergrößern bzw. verkleinern?

18 Zum Schrittweitenänderungsfaktor der (1 + 1) - ES für g = 1 Klettern mit max Für n / 0,202 >> 1 gilt Text

19 Die Schrittweiten müssen sich so ändern wie die Radien: Für k = 1 folgt Für optimales Fortschreiten ist also nach n Generationen um zu verkleinern. Bewährt hat sich = 1,3 – 1,5. Einstellregel

20 Algorithmus der (1 + 1) - ES mit 1/5-Erfolgsregel Im Mittel auf die Länge 1 normiert 1,5 für W e > 1 / 5 1,5 für W e < 1 / 5 Nach jeweils n Generationen

21 Algorithmus der (1 + 1) – ES mit 1/5-Erfolgsregel 1,5 für W e > 1 / 5 1,5 für W e < 1 / 5 Nach jeweils n Generationen Im Mittel auf die Länge 1 normiert

22 Algorithmus der (1 + 1) – ES mit 1/5-Erfolgsregel Minimalform ! Im Mittel auf die Länge 1 normiert

23 Idealisierter richtiger Ablauf einer (1+ 1)-ES-Optimierung Schrittweitenänderung Erfolg Misserfolg Erfolg Erfolgshäufigkeit ist richtig Keine Schrittweitenänderung !

24 Ein Minimalprogramm in M ATLAB zur Minimierung der Testfunktion Kugelmodell v=100; d=1; xe=ones(v,1); qe=sum(xe.^2); for g=1:1000 xn=xe+d*randn(v,1)/sqrt(v); qn=sum(xn.^2); if qn < qe qe=qn; xe=xn; d=d*1.3; else d=d/(1.3^0.25); end semilogy(g,qe,'b.') hold on; drawnow; end

25 Zurück zu den Fortschrittsformeln für das Korridor- und das Kugelmodell

26 Kugelmodell

27 Quasikonstante, wenn mit opt vorangeschritten werden soll Korridormodell

28 Fortschrittsfenster der (1 + 1) - Evolutionsstrategie Evolutionsfenster

29 Ende

30 Genau genommen ist das gezeigte Konvergenzbild nur richtig, wenn sich die Hyper- kugel in Richtung Startelter Kugelzentrum geringfügig zu einem Ellipsoid verformt. Bei einer exakten Kugel sind die Kugelschalen selektionsneutral. Ähnlich wie beim evolutionsstrategischen Beklettern einer ansteigenden Ebene eine Seitwärtsdrift eintritt, wird bei der exakten Kugel ein Umfangsdrift stattfinden. Der Suchschlauch wird sich also spiralförmig dem Kugelzentrum nähern.

31 Idee der Theorie: Es ist das Kugelmodell, das eine besonders starke Anpassung der Mutationsschritt- weite erfordert. Die Schrittweite muss sich in dem Maße verkleinern, wie der Zielab- stand während des Fortschreitens abnimmt. Wir können die Verkleinerung des Ziel- abstands pro Generation in die mathematische Form (r (g) – r (g+1) ) /1 bringen. Diese mittlere Zielabstandsverkleinerung soll nun den größten Wert annehmen; das heißt wir setzen sie gleich max. Wir wiederholen die Gleichsetzung für k·n Generations- schritte (k =1, 2,...) Wir setzen am Ende der Rechnung willkürlich k = 1. Es bedeu- tet, dass die errechnete Schrittweitenverkleinerung erst nach n Generation ausge- führt werden darf. Der Faktor (Schittweitenänderungsfaktor genannt) gibt an, mit welchen Wert größer als 1 die Mutationsschrittweite multipliziert werden muss, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit größer als 1/5 ist. Umgekehrt muss durch dividiert werden, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit kleinen als 1/5 ist.


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