Klaus Volbert 1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Sommersemester 2004.

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1 Klaus Volbert 1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Sommersemester 2004

2 2 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Klaus Volbert Approximationsalgorithmen …liefern in polynomieller Zeit Lösungen für Optimierungsprobleme, die nur um einen festen Faktor (die Güte des Appr. Algo) vom Optimum entfernt sind. Approximationsalgorithmen für Max-Cut (Güte ½) Euklidisches TSP (Güte 2, es geht besser: Christofides) Nicht-Approximierbarkeit für allgemeines TSP mit konstanter Güte unter der Annahme P NP.

3 3 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Klaus Volbert Rucksackproblem

4 4 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Klaus Volbert Exakter Algorithmus Mittels dynamischer Programmierung: F j (i):=min. Gewicht einer Teilmenge der ersten j Gegenstände mit Gesamtwert i Sei opt die optimale Lösung von RS opt, d.h. der Wert einer optimalen Teilmenge von Gegenständen. Es gelten:

5 5 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Klaus Volbert Exact Knapsack Setze i:=0 // F j (i) für j = 0 und i 0 sind bekannt Wiederhole die folgenden Schritte bis F n (i) > g Setze i:=i+1 Für j:=1, …, n Setze F j (i):=min(F j-1 (i),g j + F j-1 (i-w j )) Ausgabe i-1 Laufzeit: O(n opt) Wie gross kann opt werden?

6 6 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Klaus Volbert ScaledKnapsack Setze w max :=max{ w j | j=1,…,n} Wähle k:=max(1, w max /n Für j:=1, …, n setze w j (k):= w j /k Berechne opt(k) u. S(k) mit Hilfe von ExactKnapsack Ausgabe opt*:= j S(k) w j ScaledKnapsack( ): Approximationsgüte 1- Laufzeit O(n 3 / )