Musik und Mathematik.

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1 Musik und Mathematik

2 Pythagoreer( 5. - 4. Jh. v. Chr):
Harmonie Alles ist Zahl

3 Untersuchungen am Monochord

4 Untersuchungen am Monochord
Zwei Töne harmonieren, wenn die Saiten-längen in einem einfachen Verhältnis stehen 1 : 2 Oktav 2 : 3 Quint 3 : 4 Quart 4 : 5 Terz

5 Mögliche Erklärung: Harmonieempfinden durch Vertrautheit

6 Obertöne einer Saitenschwingung
Grundfrequenz f 1. Oberton: 2*f Oktave 2. Oberton: 3*f Quinte über der Oktave 3. Oberton: 4*f Oktave über der Oktave 4. Oberton: 5*f Terz über der 2. Oktave 5. Oberton: 6*f Quint über der 2. Oktav usw.

7 Tonleitern Versuch, das Intervall einer Oktave in Teilintervalle zu zerlegen

8 Chinesische Tonleiter
2 *f 27/16 * f 3/2 * f 81/64 * f 9/8 * f f

9 Pythagoreische Tonleiter
2 * f c 243/128 * f h 27/16 * f a 3/2 * f g 4/3 * f f 81/64 *f e 9/8 * f d f c

10 Diatonische Tonleiter 40 v. Chr.
2 * f c 15/8 *f h 5/3 * f a 3/2 * f g 4/3 * f f 5/4 * f e 9/8 * f d f c

11 Vergleich pythagoreisch diatonisch
2 2 243/ /8 27/16 5/3 3/2 3/2 4/3 4/3 81/64 5/4 9/8 9/8 1 1

12 Temperierte Stimmung Marin Mersenne 1636: Harmonie universelle
Die Oktave wird in 12 Halbtonschritte unterteilt Ein Ganztonschritt besteht aus zwei Halbtonschritten

13 Frequenzverhältnis eines Halbtonschrittes:

14 Vergleich der 3 Tonleitern pythagoreisch rein temperiert
f 1, , ,335 e 1, , ,260 d 1, , ,122 c

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16 Schwingende Saite Randwertproblem:
Form zur Zeit 0 ist bekannt, wie sieht die Form der Saite in Abhängigkeit von der Zeit aus?

17 Jean Baptiste Fourier 1768 - 1830
Idee: die Form der Saite wird durch Überlagerung von Sinusfunktionen dargestellt Beh.: Jede Funktion im Intervall läßt sich durch Überlagerung von Sinusfunktionen darstellen

18 Weiterführung dieser Idee führt zur Funktionanalysis
Funktionen werden als Elemente eines unendlichdimensionalen Raumes aufgefasst. Basisfunktionen spannen diesen Raum auf

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