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Musik und Mathematik. Pythagoreer( 5. - 4. Jh. v. Chr): Harmonie Alles ist Zahl.

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Präsentation zum Thema: "Musik und Mathematik. Pythagoreer( 5. - 4. Jh. v. Chr): Harmonie Alles ist Zahl."—  Präsentation transkript:

1 Musik und Mathematik

2 Pythagoreer( Jh. v. Chr): Harmonie Alles ist Zahl

3 Untersuchungen am Monochord

4 Zwei Töne harmonieren, wenn die Saiten- längen in einem einfachen Verhältnis stehen 1 : 2Oktav 2 : 3Quint 3 : 4Quart 4 : 5Terz

5 Mögliche Erklärung: Harmonieempfinden durch Vertrautheit

6 Obertöne einer Saitenschwingung Grundfrequenz f 1. Oberton: 2*fOktave 2. Oberton: 3*fQuinte über der Oktave 3. Oberton: 4*fOktave über der Oktave 4. Oberton: 5*fTerz über der 2. Oktave 5. Oberton: 6*fQuint über der 2. Oktav usw.

7 Tonleitern Versuch, das Intervall einer Oktave in Teilintervalle zu zerlegen

8 Chinesische Tonleiter 2 *f 27/16 * f 3/2 * f 81/64 * f 9/8 * f f

9 Pythagoreische Tonleiter 2 * fc 243/128 * fh 27/16 * fa 3/2 * fg 4/3 * ff 81/64 *fe 9/8 * f d fc

10 Diatonische Tonleiter 40 v. Chr. 2 * fc 15/8 *fh 5/3 * fa 3/2 * fg 4/3 * ff 5/4 * fe 9/8 * fd fc

11 Vergleich pythagoreisch diatonisch /12815/8 27/165/3 3/23/2 4/34/3 81/645/4 9/89/8 11

12 Temperierte Stimmung Marin Mersenne 1636: Harmonie universelle Die Oktave wird in 12 Halbtonschritte unterteilt Ein Ganztonschritt besteht aus zwei Halbtonschritten

13 Frequenzverhältnis eines Halbtonschrittes:

14 Vergleich der 3 Tonleitern pythagoreisch rein temperiert c h 1, 898 1,875 1,888 a 1,688 1,667 1,682 g 1,500 1,500 1,498 f 1,333 1,333 1,335 e 1,266 1,250 1,260 d 1,125 1,125 1,122 c 1 1 1

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16 Schwingende Saite Randwertproblem: Form zur Zeit 0 ist bekannt, wie sieht die Form der Saite in Abhängigkeit von der Zeit aus?

17 Jean Baptiste Fourier Idee: die Form der Saite wird durch Überlagerung von Sinusfunktionen dargestellt Beh.: Jede Funktion im Intervall läßt sich durch Überlagerung von Sinusfunktionen darstellen

18 Weiterführung dieser Idee führt zur Funktionanalysis Funktionen werden als Elemente eines unendlichdimensionalen Raumes aufgefasst. Basisfunktionen spannen diesen Raum auf

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