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1 Zu Kap I.8.3. Formale Lösung mit Greenscher Funktion Erinnerung: heißt eine Greensche Fktn. des Operators, falls dann wird die Poisson-Gleichung für.

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1 1 Zu Kap I.8.3. Formale Lösung mit Greenscher Funktion Erinnerung: heißt eine Greensche Fktn. des Operators, falls dann wird die Poisson-Gleichung für beliebige gelöst durch

2 2 Beispiel: ist Greensche Funktion mit Dirichlet-Randbedingung ist partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ( )

3 3 G 0 ist partikuläre Lösung der inhomogenen Gl. ( ) also: allgemeine Lösung zu ( ) lautet mit F allgemeine Lösg. der homogenen Gl. zu ( ), d. h. (F ist eine harmonische Funktion) F muss so gewählt werden, dass Randbedingungen erfüllt werden!

4 4 Randwertproblem: Gebiete, z.B. Metallkörper Lösung gesucht auf mit (Dirichlet) oder (von Neumann) vorgegeben (Randbedingungen)., F (und somit G) sollen nur von Geometrie von abhängen Lösung soll als Integral über und Randbedingungen formuliert werden

5 5 Bemerkung: Bestimmung von F (für beliebige ) i.a. schwierig; nur in Spezialfällen ( Symmetrien) analytisch machbar (z.B. durch Spiegelladungsmethode, s.o.) Falls überhaupt ein F existiert, ist es eindeutig (wegen Eindeutigkeitssatz, s.o.) Konstruktion ist rein formal, aber für theoretische Untersuchungen von großer Bedeutung und Aussagekraft Setze nun voraus: F, G sind für das Gebiet bekannt Unsere Aufgabe: Konstruktion der Lösung


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