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Aussagenlogische Modelle 1.Boolesche Ausdrücke 2.Wahrheitstabellen 3.Elemente boolescher Ausdrücke 4.Karnaugh-Veit-Matrizzen 5.Ursache-Wirkung-Graphen.

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1 Aussagenlogische Modelle 1.Boolesche Ausdrücke 2.Wahrheitstabellen 3.Elemente boolescher Ausdrücke 4.Karnaugh-Veit-Matrizzen 5.Ursache-Wirkung-Graphen

2 1.Boolesche Ausdrücke Boolesche Algebra -mathematisches System von Operationen auf Variablen -Benannt nach dem Erfinder George Boole Boolesche Operatoren -UND (·), ODER (+), EXKLUSIV-ODER ( ), NICHT (~) Boolesche Formel = Kombination von booleschen Operatoren und booleschen Variablen Boolesche Gleichheit = funktionale Gleichheit 2er boolescher Formeln Logische Funktion = Funktion die zu n booleschen (also binären) Eingangsvariablen n boolesche Ausgangsvariablen liefert

3 Tabelle aller möglicher Eingangs- und daraus resultierender Ausgangswerte für eine logische Funktion ABZ Zum Beispiel: ODER (Z = A + B) UND (Z = AB) ABZ Wahrheitstabellen

4 Beispiel: Zündung eines Kessels Eingabe- vektor NormaldruckZu KaltZündklappe geschlossen Manueller Modus Zündung möglich ABCDZ

5 Andere Darstellungsformen Logische Funktion: Z = A(B~C + D) Java-Code: If ((normalDruck && zuKalt && !klappeGeschlossen) || (normalDruck && manuellerModus)) { zuendungMgl = true; } Else { zuendungMgl = false; }

6 3. Elemente boolscher Ausdrücke Literal: logische Variable mit optionalem NICHT Produkt: Zeichenkette logischer Variablen verknüpft durch UND Summe-Aus-Produkten-Form: Produkte durch OR verknüpft (disjunktive Normalform) z.B.: Z = A(B~C + AD) = AB~C + AD Implikant: Term in einer Formel in Summe-Aus-Produkten-Form Assozativ-, Distributivgesetze, De Morgans Law, Absorption (S. 137) Minterm: Produkt mit einem Literal für jede Variable; wenn Minterm wahr, dann auch die Funktion Bsp: AB~C 2 Minterme: AB~CD, AB~C~D

7 Würfel: gepackter Teil einer Wahrheitstabelle (eine Zeile) Ein Würfel ist ein Primärimplikant, wenn Alle Ergebnisse des Würfels sind TRUE. (Implikant) Der Würfel ist nicht Teilmenge irgendeines anderen Würfels. Hier:AB~C = 110x = {1101, 1100} UndAD = 1xx1 = {1001, 1011, 1101, 1111} Beide Terme sind Primärimplikanten (Identifikation durch KV- Matrizzen) Z = AB~CD + AB~C~D + ABCD + A~BCD + A~B~CD = AB~C + AD Logische Minimierung 110x | 1 1xx1 | 1 0xxx | 0 10x0 | 0

8 Nutzen der logischen Minimierung für das Software-Testen: Weniger Tests Automatische Testerzeugungsalgorithmen können schneller laufen Kann Fehler in der Spezifikation offenlegen Einfacher verständlich Einige Techniken für logische Minimierung -durch Hinschauen bei wenigen Variablen -KV-Matrix -Ursache-Wirkungs-Graph und Boolesche Algebra (für kleinere bis mittelgrosse Probleme) -McCluskey Algorithmus (-9V), Deitmayer Algorithmus (-14V) -Fortgeschrittene exakte und heuristische Algorithmuen (-25V)

9 Karnaugh-Veit-Matrizzen KV-Matrix für 4 Variablen Passende KV-Matrix auswählen Matrix ausfüllen: Für jeden Implikant eine 1 in die Tabelle schreiben größte Gruppe aneinanderliegender Zellen finden (2^n elementige Blöcke, horizonal oder vertikal (NICHT diagonal), kann über die Ecken gehen, können sich überlappen) AB CD Produkt für diese Gruppe aufschreiben (variablenweise, nur 0 für eine Variable: negierte Variable, nur 1: Variable, 0 und 1: Variable weglassen) Schritt 3 und 4 wiederholen, biss alle gültigen Gruppen identifiziert worden

10 Beispiel AB CD AB CD AB CD Z = AB~C + AD Schritt 2Schritt 3 Schritt 4

11 Ursache-Wirkungs-Graphen - nützlich, um Beziehungen aus der Wahrheitstabelle zu modellieren 25 und jünger 26 und älter Keine Klagen 1 Klagen 2 – 4 Klagen 5+ Klagen DM 100 DM 200 DM 400 Warnbrief Absagen DM 50 DM 25


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