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Relationen zwischen Mengen A B. Operationen von Mengen ABABAB M A.

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Präsentation zum Thema: "Relationen zwischen Mengen A B. Operationen von Mengen ABABAB M A."—  Präsentation transkript:

1 Relationen zwischen Mengen A B

2 Operationen von Mengen ABABAB M A

3 Produktmengen x y

4 Funktionsbegriff AB f

5 AB f AB f

6 Pascalsches Dreieck 12

7 Horner-Schema x = = = f(3)

8 Horner-Schema x anan a n-1 a n-2 a1a1 anxanx = ++ …= f(n)anan a n x+a n-1 (a n x+a n-1 )x …a0a0

9 Komplexe Zahlen reelle Achse imaginäre Achse 01 j bj b>0

10 Komplexe Zahlen 1 5 j 3j a bj a+jb

11 Komplexe Zahlen a bj z=a+jb |z|

12 konjugiert komplex z z Spiegelung an x-Achse

13 Addition z1z1 z2z2 z2z2 z=z 1 +z 2 Re jIm z 1 wird um z 2 nach oben verschoben

14 Scheinleitwert R1R1 R2R2 L1L1 L2L2 C Y Z

15 Polarkoordinaten a b z=a+jb r = |z| φ Im Re

16 Multiplikation r = r 1 r 2 φ=φ1+φ2φ=φ1+φ2 Im Re r2r2 r1r1 φ1φ1 φ2φ2

17 Wechselstrom reeller Vorgang in Technik Übertragung ins Komplexe Rechnen im Komplexen komplexes Ergebnis bilden des Realteils reelles Rechenergebnis

18 Reihenschaltung RLC

19 monoton wachsend 01

20 Horner-Schema x0x0 anan a n-1 a n-2 a1a1 c n-1 x 0 = ++ …c n-1 c n-2 …a0a0 c n-2 x 0 c n-3 c0c0 0 + c1x0c1x0 + c0x0c0x0

21 arcsin x y = sin x π2π2 π2π2 x = arcsin y y π2π2 π2π2 x y = arcsin x π2π2 π2π

22 arccos x y = cos x π2π2 1 x y = arccos x π2π2 1 π π

23 arctan x y = tan x π2π2 π2π2 x y = arctan x π2π2 π2π2 Asymptote

24 arccot x y = cot x π2π2 x y = arccot x π2π2 Asymptote π π

25 Exponentialfunktion x y = a x 1 a > 1 x y = a x 1 0 < a < 1

26 Logarithmus x y = e x 1x y = ln x 1

27 hyperbolius x y 1 x y 1 coshx sinhx tanhx cothx

28 Geometrische Interpretation x1x1 x2x2 x1x1 x2x2 x n=2 P

29 Rechtssysteme e3e3 e2e2 e1e1

30 Skalarprodukt x1x1 x2x2

31 φφ 00

32 x y z α β γ

33 Vektorprodukt

34 Physik A P starrer Körper I

35 Spatprodukt

36 Anwendungen

37 Parmeterform G x y

38 Parameterfreie Form G x y φ

39 Lot 0 P

40 parallel und windschief y x z 0 G2G2 G1G1

41 Ebene 0 φ

42 Lot auf Ebene 0

43 0

44 Multiplikation

45 Falksches Schema

46 Unterräume R2R2

47 a1a1 span{a 1 } a1a1 span{a 1,a 2 } a2a2 dim = 1 a1a1 span{a 1,a 2 }=R 2 a2a2

48 Mannigfaltigkeit U r0r0 M

49 symmetrische Matrizen

50 Quadriken im R 2 x y x y x y

51 x y x y x y

52 Quadriken im R 3 z x y x y z x y z

53 x y z c y x z y x z

54 x y z y z x x y z

55 x y z b a c x y z c

56 x y z a b x y z a b c

57 Grenzwert a1a1 a3a3 a2a2 a - ε a + ε Im Reellen ε a a2a2 a3a3 a1a1 unendlich viele Werte innerhalb Im Komplexen

58 einseitiger Grenzwert x P P1P1 Q1Q1 0 1

59 rechtsseitige Polstelle

60 stetige Funktion x 0 - δx 0 + δx0x0 f(x) - ε f(x) + ε f(x)

61 Unstetige Funktionen

62 Klassifikation von Unstetigkeitsstellen x0x0 x0x0 ab x y

63 Das Differential xx+dx f(x) f(x+dx) dy ΔyΔy

64 Umkehrfunktionen x y

65 von Rolle ab

66 Mittelwertsatz Parallel x0x0

67 Newtonverfahren x1x1 x2x2 x f(x 1 ) y=f(x) P(x 1,f(x 1 ))

68 Newtonverfahren x1x1 x1x1

69 Kurvendiskussion x2x2 x1x1 f(x 1,2 )=0 x f(x) existiert nicht

70 Kurvendiskussion x a b α β

71 Wendepunkte konvexkonkav f Tangente

72 Parameterdarstellung a b

73 x y x y λ=1 λ<1 λ>1

74 Tangentenvektor

75 bestimmtes Integral x 0 =ax1x1 b=x n μ1μ1 m1m1 x i-1 xixi mimi μiμi 1

76 bestimmtes Integral f(ξ) f ab

77 Hauptsatz ab f(x)= 1x1x 1 2

78 Integrale unbeschränkter Funktionen 1cab

79 unbeschränkter Intervalle

80 Flächen zwischen Graphen f(x) g(x) f(x)+c g(x)+c

81 Flächen von Sektoren α β φ x y 1 x y φ r

82 Volumina von Rotationskörpern y=f(x) x i-1 xixi x z y x z y h

83 Längenberechnung von Kurvenstücken t=a γ(t 1 ) γ(t 2 ) t=b x y dy ΔyΔy dx=Δx ds ΔsΔs

84 Oberfläche von Rotationskörpern x z y

85 Trapezregel y x αβ f(x) y x Geraden

86 Simpsonsche Regel αβ α+β2α+β2

87 Grundbegriffe …

88 Grundbegriffe Funktionenreihen x x4x4 10

89 Potenzreihen Im 1 Re Konvergenz innerhalb Kreis r r ~

90 Sägezahn π-π-ππ-π-π Original Sägezahn10-te Partialsumme

91 Gibbs-Phänomen anzunähernde Funktion Die Maxima der Überschwinger bilden Gerade Si(π) π2π π2π2 y x N=3 N=6 xNxN x N+3

92 Rechteckfunktion π

93 Fourierentwicklung π

94 Rechteckfunktion π

95 Rechteckimpuls -aa

96 Beispiel 3 1

97 verschobener Rechteckimpuls -a+ca+c

98 Satz 3

99 Heaviside Funktion [ a C 0 Konvergenz Halbebene

100 Dämpfung im Bildbereich t f(t)f(t-δ) δ h δ (t)f(t-δ) vorne durch 0 ersetzt

101 Rechteckimpuls c ab

102 elektrischer Schwingkreis L R Cu i

103 Silberne Taschenuhr Faden nach oben gezogen straffer Fadenax y Uhr Faden ist jeweils tangential zur Bahnkurve

104 Geometrische Interpolation x0x0 x 0 +h a y1y1 1 y2y2 y1y1

105 Wechselspannung S R L u(t)

106 Beispiel 2 Re jIm

107 mechanisches Schwingungssystem Feder Masse m k r Dämpfer R ωtωt

108 Transformatorschaltung R LUR M i1i1 i2i2

109 System von gewöhnlichen DGL i t i 1 (t) i 2 (t)


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