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Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/1 Diese.

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1 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/1 Diese Fragen sollten Sie beantworten können Was ist das Ziel der Vorlesung - Rechner zur Unterstützung der Berechnung technischer Vorgänge Was ist ein Modell - Abstraktion Was sind die mathematischen Grundbeziehungen technischer Modelle - Erhaltungsgleichungen in integraler und differenzieller Form Was ist ein Abstrakter Datentyp - Kapselung von Daten Was ist ein Modul - Kapselung von Funktionalitäten Drei Auswirkungen der Endlichkeit von Rechnern Rundung, Diskretisierung, Abbruch Was bedeuten Kondition, Konsistenz und Konvergenz Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Abbruchfehler beherrscht

2 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/2 V3: Rechnen auf endlichen Maschinen Teil II: Rechner als endliche Maschine Kap. 3:Rechnen auf endlichen Maschinen Inhalt: Rundungsfehler, ihre Ursachen und Auswirkungen Diskretisierung von Funktionen Punkte und Interpolation mit Lagrange Polynomen Entwicklung nach Polynomen: Taylorreihen Stückweise stetige Darstellung Experimente: Fehlerfortpflanzung Näherung eines Polynomes nach verschiedenen Ansätzen. Übung 1: Numerik mit Excel und Matlab

3 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/3 Das sollten Sie heute lernen Was sind Rundungsfehler und wie wirken sie sich aus Fehlerfortpflanzung bei Operationen Wie können wir Verläufe diskretisieren Was ist ein Lagrange Polynom Wie erzeugt man eine Taylorreihe und zu was nutzt sie

4 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/4 Sei a der exakte Wert einer gesuchten Größe und ã eine Näherung, dann sind der absolute Fehler a und der relative Fehler a der Näherung ã definiert durch Umgekehrt gilt Für die Genauigkeit eines Resultates ist meist der relative Fehler maßgebend, da er direkt mit der Anzahl N der korrekten bedeutsamen Ziffern in a zusammenhängt: Aus (2) folgt Additivität des absoluten Fehlers bei Addition, und näherungsweise Additivität von kleinen relativen Fehlern bei Multiplikation bzw. Division Anders verhält sich die Subtraktion. Hier kann aufgrund von Stellenauslöschung der relative Fehler über alle Grenzen wachsen wird genähert durch Rundungsfehler bei Grundoperationen

5 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/5 Interpolationsformel von Lagrange Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen An den Stützstellenmuß wegen der Interpolationsbedingung gelten Für diegelten die Beziehungen und allgemein Diesind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist. Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1. 1/2 Der Versuch wird durch Klick gestartet Die mathematische Darstellung der Eulerzahl lautet: Die Limesbildung meint, daß bei einem sehr groß gewählten n das numeri- sche Ergebnis und die mathematisch exakte Lösung übereinstimmen. Diese Theorie stimmt jedoch nur solange n so klein bleibt, daß 1/n nicht in den Bereich der Rundungsfehler von 1 gelangt. Auf unseren Rechnern beträgt die Mantissenlänge für double 53 (für float 24). Daraus ergibt sich ein Rundungs- fehler an der 55 Stelle. Nähert sich n dem Wert,so erhält man für die Ergebnisfunktion ein Sägezahnprofil mit dem Höchstwert e² bei n=. Steigt n weiter an, dann gilt f(n)=1 Für n < wirkt sich der Rundungsfehler bei der vorgegebenen Zeichengenauigkeit nicht sichtbar aus. Auswirkungen von Rundungsfehler bei der Berechnung von e

6 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/6 Ein Beispiel soll die Wirkung von Rundungsfehlern erläutern. Zu berechnen sei Nach dieser Formel wurden die folgenden Werte mit 10stelliger Dezimalarithmetik berechnet. Die Abweichungen in der rechten Spalte sind Folge von Rundungsfehlern. So gilt etwa für n = für 1/n = und gerundet Für n = erhält man für 1/2 = und gerundet gerade 0. Die Verwendung der Potenzreihe für würde hier Abhilfe schaffen. Im Rahmen der numerischen Experimente wird ein entsprechender Versuch mit einem 32 bit-Rechner angeboten. Bestimmung von e

7 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/7 Berechnet man aus einer Größe x über einen Algorithmus f(x) eine Größe y, so gibt es zwei Ursachen für Fehler Fehler in x Fehler in Operation Daraus folgt Darin bedeutetden absoluten Fehler durch die Operation den absoluten Fehler durch das Argument Nach dem Mittelwertsatz gilt oder Damit wird cond f heißt Kondition der Operation. Für cond f < 1 führt die wiederholte Anwendung einer Operation zum Verschwinden des Fehlers durch das Argument, man sagt, die Operation ist stabil. Fehler bei Operationen

8 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/8 Akkumulation von Rundungsfehlern In der Numerik haben wir es mit einer Vielzahl von Rechenoperationen zu tun. Man muß deshalb untersuchen, wie sich Fehler dabei ausbreiten. Bei Verwendung gerundeter Arithmetik wird im allgemeinen in zufälliger Folge gleich häufig auf- oder abgerundet. Weitaus die meisten Rundungsfehler kompensieren sich so gegenseitig. Die Abweichung einer berechneten Größe von ihrem (im Verlauf der Rechnung variablen) exakten Wert hat daher den Charakter einer statistischen Schwankung. Zählt der Index n die für die Größe a wirksamen Operationen, d.h. diejenigen, welche a direkt oder indirekt beeinflussen, so ergibt der zentrale Grenzwertsatz für den akkumulierten Rundungsfehler von a die Ordnung Dieses langsame Fehlerwachstum kann unter günstigen Bedingungen auch bei abgeschnittenen Arithmetik auftreten (bei günstiger Verteilung der Operationen und Vorzeichen). Weit häufiger aber zeigen die Rundungsfehler dann eine systematische Tendenz. Dann wächst der akkumulierte Fehler von a linear mit der Anzahl n der wirksamen Operationen, ist also von der Ordnung 0(n). Die Abbildung zeigt typische Verläufe.

9 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/9 Interpolationsformel von Lagrange Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen An den Stützstellenmuß wegen der Interpolationsbedingung gelten Für diegelten die Beziehungen und allgemein Diesind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist. Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1. 1/2 Die Summe der einzelnen Fehler ist eine normal verteilte Größe. Die Streu- ung der Normalverteilung ist. Wobei n die Zahl der Operationen und die Proportionalitätskonstante vom Rundungsfehler der einzelnen Opera- tionen abhängt. In der Visualisierung sind dargestellt: a)die Einzelfehler b)die Summenfehler c)der 2 Sigma Bereich für den Summenfehler Bei diesem Versuch werden Zufallszahlen (a) generiert und durch die Vor- schrift (a/b+1)-1 gerundet. Die Differenz zwischen der ursprünglichen und der gerundeten Zufallszahl ergibt den Rundungsfehler (Rundfe). Wobei b=10 gilt. Der Versuch wird durch Klick gestartet Fehlerfortpflanzung bei Addition

10 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/10 Maßnahmen zur Reduktion von Rundungsfehlern Maßnahmen zur Reduktion von Rundungsfehlern können sein Verwendung gerundeter Arithmetik, Verwendung von doppelter Genauigkeit, Rechnungen auf Maschinen mit verschiedenen Mantissen, Abänderung der Algorithmen, Verwendung von Intervallarithmetik. Akkumulation von Rundungsfehlern bei Grundoperationen

11 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/11 Neben der diskreten Darstellung der Zahlen interessieren in der Numerik vor allem die diskrete Darstellung von Verläufen (Funktionen) und der darauf möglichen Operationen (vor allem Integration und Differentiation). Drei Möglichkeiten der Diskretisierung von Verläufen sollen im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden. Ausgang ist y = f(x) xsteht für die unabhängigen Variablen, ysteht für die abhängigen Variablen, fgibt den Verlauf an und wird im Folgenden als Operation auf x gedeutet, die die Gerade y ergibt. a)Diskretisierung der unabhängigen Variablen wird durch Werte y i =f(x i ) dargestellt. Für weitere Operationen kann zwischen den Werten y i interpoliert werden. Als Interpolationsfunktion werden häufig Lagrange-Polynome verwendet. Diskretisierung von Funkionen -1

12 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/12 Diskretisierung von Funktionen -2 b) Diskretisierung der abhängigen Variablen Wählbar sind die Entwicklungsfunktionen N i (x), die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten a i und die Art der Näherung von c)Diskretisierung durch statistische Methode wird über Werte beschrieben, wo x i zufällig bestimmt und nach verteilt sind.

13 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/13 1.Festlegung des Approximationsbereiches x a x x b 2.Festlegung der Stützstellen a)Einschluß der Ränder x 1 = x a, x n+1 = x b b)Gebietsmitte 3.Berechnung der Werte der abhängigen Variablen y i = y (x i ) 4.Interpretation a)Wert gültig im Bereich (Basisgebiet) um Stützstellen b)Werte interpolieren mit Lagrange-Polynomen b1)Polynom durch alle Punkte (wenig Stützstellen, hohe Interpolationsordnung) b2)stückweise Näherung (viele Stützstellen, mehrere Polynome niederer Ordnung). Diskretisierung der unabhängigen Variablen - Näherung von Funktionen

14 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/14 y wird durch zwei Punkte x o und x 1 beschrieben. ist eine Gerade durch die Punkte (x o, y o ) und (x 1, y 1 ) Faßt man die Glieder mit y o und y 1 zusammen, so gilt Die Ausdrücke vor den Werten y o und y 1 sind Funktionen von x. Wir bezeichnen sie mit Offensichtlich gilt und Lineare Interpolation

15 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/15 Quadratische Interpolation x wird durch drei Punkte x 0, x 1, x 2 beschrieben. Ist eine Parabel durch die Punkte Mit und können die Koeffizienten a 0, a 1 und a 2 bestimmt werden.

16 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/16 Quadratische Interpolation Das Ergebnis ist Die Ausdrücke vor den Werten y 0, y 1 und y 2 sind jetzt ebenfalls Parabeln. Wir bezeichnen sie mit Offensichtlich gilt und

17 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/17 Höhere Interpolation heißen Lagrange-Polynome. Es gilt analog der linearen und der quadratischen Interplation für i j, für i = j Ihre allgemeine Form lautet Höhere Interplation

18 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/18 Ihre allgemeine Form lautet: Für n = 3 Lagrange Polynome - Zusammenfassung

19 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/19 Lagrange Polynome - Zusammenfassung Mit diesen Interpolationsfunktionen läßt sich eine Funktion y(x) etwa folgendermaßen nähern: x0x1x2x3x0x1x2x3

20 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/20 Interpolationsformel von Lagrange Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen An den Stützstellenmuß wegen der Interpolationsbedingung gelten Für diegelten die Beziehungen und allgemein Diesind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist. Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1. 1/2 Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen An den Stützstellenmuß wegen der Interpolationsbedingung gelten Für diegelten die Beziehungen und allgemein Diesind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist. Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1. Interpolationsformel von Lagrange

21 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/21 Interpolationsformel von Lagrange Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen An den Stützstellenmuß wegen der Interpolationsbedingung gelten Für diegelten die Beziehungen und allgemein Diesind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist. Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1. 1/2 Versuch: Mit Hilfe von der Lagrangefunktion wird xsin(x) angenähert. Variiert werden der Approximationsbereich und der Grad der Approximation. Das Approximations- gebiet wird dann in n äquidistante Intervalle unterteilt. Als n+1 Stützstellen werden die Intervallgrenzen gewählt. Der Versuch wird durch Klick gestartet Lagrange Interpolationsformel von Lagrange - 2

22 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/22 Stückweise Näherung Häufig möchte man sich bei der Näherung auf Polynome niederer Ordnung beschränken. Um trotzdem kompliziertere Verläufe darstellen zu können, unterteilt man den Bereich, in dem die Funktion genähert werden soll, in m-Teilbereiche (Basisgebiete, Elemente), für die man je separat eine Näherung bestimmt. Man fordert Stetigkeit der Näherungen an den Anschlußstellen und erreicht das dadurch, daß je eine Stützstelle auf dem Rand liegt. Es gilt dann sind die im Teilbereich j gültigen Interpolations- oder Ansatz-Funktionen je der Ordnung nj Die Näherung heißt stückweise stetig.

23 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/23 Diskretisierung der abhängigen Variablen Der im letzten Abschnitt beschriebene Ansatz nähert y so, daß y und an den Knoten übereinstimmen. Für viele Anwendungen sind andere Anpassungen besser. Man erhält sie durch Diskretisierung der abhängigen Variablen N i (x) sind bekannte Entwicklungs- oder Basisfunktionen. a i sind die Entwicklungskoeffizienten. Zu ihrer Bestimmung ist ein Kriterium, das angibt, wie die Näherung erfolgen soll, nötig. Eine häufig verwendete Anpassungsmethode ist die Methode der gewichteten Residuen. Sie versucht, den Gesamtfehler integral zu minimieren. Dazu führt man Wichtungsfunktionen w i ein und fordert

24 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/24 Methode der gewichteten Residuen Die Zahl der Wichtungsfunktionen entspricht dabei der Zahl der anzupassenden Unbekannten a i. j läuft also wie i von 0 bis n. Mit dieser Beziehung erhält man durch Einsetzen der n+1 Wichtungsfunktionen w j gerade n+1-Gleichungen. Aus diesen können die Entwicklungskoeffizienten a i bestimmt werden. Voraussetzung dafür ist, dass die Wichtungsfunktionen linear unabhängig sind, d.h. nicht durch lineare Transformationen ineinander überführt werden können. Mit der Abkürzung hat das Gleichungssystem folgende Form

25 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/25 Stückweise Näherung Häufig möchte man sich bei der Näherung auf Polynome niederer Ordnung beschränken. Um trotzdem kompliziertere Verläufe darstellen zu können, unterteilt man den Bereich, in dem die Funktion genähert werden soll, in m-Teilbereiche (Basisgebiete, Elemente), für die man je separat eine Näherung bestimmt. Man fordert Stetigkeit der Näherungen an den Anschlußstellen und erreicht das dadurch, daß je eine Stützstelle auf dem Rand liegt. Es gilt dann sind die im Teilbereich j gültigen Interpolations- oder Ansatz-Funktionen je der Ordnung nj Die Näherung heißt stückweise stetig.

26 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/26 Alternative Wahlen der Entwicklungskoeffizienten Folgende Wahlen sind besonders häufig: d.h. Lösung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen die Lagrange-Funktionen d.h. Steigung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen Polynome (Ableitungen an einer Stelle) oder Hermitesche Funktionen (Ableitungen am linken und rechten Rand). d.h. mittlere Lösung im Gebiet. Dann sind die Basisfunktionen in der Regel problemabhängige Spezialfunktionen. d.h. mittlere Steigung (häufig für ein Oberflächenelement definiert).

27 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/27 Beispiel: Taylor-Reihenentwicklung Folgende Festlegungen führen zur Taylor-Entwicklung: Entwicklungsfunktionen Polynome von (x - x o ) Entwicklungkoeffizienten Wert und Ableitung an Stelle x 0 : Art der Näherung y und stimmen an der Stelle x 0 in Wert und allen Ableitungen bis zur Ordnung n überein.

28 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/28 Taylor-Reihenentwicklung -2 Ergebnis der Näherung Verstümmelungsfehler gleich erstes vernachlässigtes Glied Konvergenz

29 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/29 Statistische Approximation Eine dritte Methode, um Verläufe zu diskretisieren, kennen wir aus der Meßtechnik. Dort werden Verläufe mit Hilfe von Meßpunkten dargestellt. Dabei gibt es zwei Grenzfälle: Die Meßpunkte sind zufällig (Stichprobe), aber der Meßwert ist exakt. Dies entspricht einer zufälligen Diskretisierung der unabhängigen Variablen. Die Meßpunkte sind vorgebbar, aber der Meßwert ist mit großer Unsicherheit behaftet (Messung mit Meßfehler). Jetzt sind die Werte der abhängigen Variablen zufällig. Um diese Technik auch auf dem Rechner verfügbar zu haben, ist es nötig, zufällige Zahlen zu erzeugen. Dies geschieht durch spezielle Funktionen (Zufallszahlgeneratoren). Diese Funktionen liefern in der Regel Zufallszahlen, die in einem Intervall (0,1) gleichverteilt sind, d.h. die auftretenden Zahlenwerte können alle aus diesem Intervall darstellbaren Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Abweichungen von dieser Aussage dürfen im Rahmen der Verwendung der Zufallszahlen nicht nachweisbar sein. Dieser Ansatz ist vor allem dann von Bedeutung, wenn x hochdimensional und f schwierig zu berechnen sind

30 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/30 Statistische Approximation Um nun eine Funktion f (x) im Intervall (a, b) zu nähern, wird f (x) aufgespalten inf( x) = f x (x) (x) Die Näherung von f (x) erfolgt dann durch n Realisationen x i, wo die x i aus der Verteilung (x) stammen und jedem x i ein Wert f x (x i ) zugeordnet ist. Ist (x) eine Gleichverteilung, so gilt (x) = 1 / (b - a) und f X (x) = (b - a) f (x). Kann man direkt von f (x) Zufallszahlen ziehen, ist also f (x) - evtl. nach einer Normierung - eine verfügbare Dichtefunktion, so gilt: (x)=f (x) f x (x)=1 Allen Beiträgen x i wird also derselbe Wert zugeordnet. Eine Interpolation zwischen den zufälligen Werten kann nicht direkt erfolgen. Operationen werden über das Gesetz der grossen Zahlen realisiert.

31 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/31 Regression - 1 Näherungsweise kann man einen Punkteschwarm mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate in einen Verlauf (Regression) umsetzen. Dabei hat man aus Messungen oder einem statistischen Computerexperiment Wertepaare x i, y i erhalten. Sie sollen durch eine Funktion, in der die Parameter a 0 bis a n noch zu bestimmen sind möglichst gut approximiert werden. Dies erreicht man etwa, indem man die quadratische Abweichung Q zwischen Meßwerten y i und Näherung zum Minimum macht:

32 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/32 Regression - 2 Wie aus der Analysis bekannt, wird ein Extremwert berechnet, indem man die 1. Ableitung = 0 setzt. Damit kann man für genau n+1-Gleichungen folgender Art bilden: Dies entspricht der Methode der gewichteten Residuen in der Galerkin- Formulierung, wenn wie dort gilt: Anwendung: Bestimmung von Ersatzfunktionen für Simulationen Bestimmung von Sensitivität auf Datenänderung bei Simulationen

33 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/33 Diese Fragen sollten Sie beantworten können Was sind die Hauptfehlerarten beim numerischen Rechnen und wie reduziert man sie Wie breiten sich Fehler bei Operationen auf ungenaue Zahlen aus Wie diskretisieren wir Funktionen Geben Sie das Lagrange Polynom der Ordnung n an Geben Sie für eine Funktion f(x) die zugehörige Taylor - Reihe an Empfehlen Sie einen Ansatz zur Näherung einer Funktion f(x), wenn deren Verlauf optimal beschrieben werden soll. Wie ändert sich Ihre Empfehlung, wenn es sich bei der zu nähernden Funtion im Näherungsintervall um ein Polynom der Ordnung 2 handelt


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