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Teeseminar 22.11.2002Peter Brommer1 Minimieren ohne Ableitungen Potentialanpassung mit einem Least-Squares-Algorithmus nach Powell (1965)

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Präsentation zum Thema: "Teeseminar 22.11.2002Peter Brommer1 Minimieren ohne Ableitungen Potentialanpassung mit einem Least-Squares-Algorithmus nach Powell (1965)"—  Präsentation transkript:

1 Teeseminar Peter Brommer1 Minimieren ohne Ableitungen Potentialanpassung mit einem Least-Squares-Algorithmus nach Powell (1965)

2 Teeseminar Peter Brommer2 Übersicht Problemstellung Übliche Verfahren Ansatz von Powell Beispielrechnungen Nächste Schritte

3 Teeseminar Peter Brommer3 Problemstellung physikalisch Gesucht: Das Potential (z.B. durch Punkte, zwischen denen interpoliert wird). Gegeben: Die Wirkung (z.B. durch die Kräfte auf die Atome) Welches Potential verursacht Kräfte, die den gegebenen am besten entsprechen?

4 Teeseminar Peter Brommer4 Problemstellung mathematisch Jedes Potential (x i ), i=1..n verursacht Kräfte F j ( (x i )), j=1..m auf die m Atome. Ein Potential ist umso besser, je näher die Kräfte den Sollkräften F j soll kommen. Die quadrierten Differenzen zwischen Kraft und Sollkraft werden aufsummiert:

5 Teeseminar Peter Brommer5 Noch mehr Mathematik Bei bestmöglicher Übereinstimmung von Sollkräften wird U(x i ) minimal. Damit ist das Problem bestimmt: Gesucht sind {x i }, so dass U(x i ) den minimalen Wert annimmt. Das entspricht dem Auffinden des Minimums einer Funktion im R n.

6 Teeseminar Peter Brommer6 Ein erster Lösungsweg Der negative Gradient weist in die Richtung des Minimums. Wenn wir immer dem Gradienten folgen, landen wir irgendwann mal in einem (lokalen) Minimum.

7 Teeseminar Peter Brommer7 Der Gradienten-Algorithmus Wir rechnen an einem Startpunkt ξ R n den Gradienten aus und folgen ihm, bis die Funktion minimal wird. An dieser Stelle steht der Gradient senkrecht auf der bisherigen Richtung. Wir berechnen den neuen Gradienten und folgen ihm wieder bis zum Minimum. Diese Schritte werden so lange wiederholt, bis sich die Funktion nicht weiter ändert.

8 Teeseminar Peter Brommer8 Probleme Der Gradient muss numerisch bestimmt werden. Der Algorithmus ist nicht an die spezielle Struktur von U(x) angepasst. Der Algorithmus vergisst nach jedem Schritt, was er bislang über die Funktion gelernt hat. Ungünstige Geländeformen führen bisweilen zu umständlichen Wegen.

9 Teeseminar Peter Brommer9 Unwegsames Gelände xixi xjxj

10 Teeseminar Peter Brommer10 1. Verbesserung Nach der ersten Minimalisierung in Richtung w steht der Gradient senkrecht auf w. Damit der nächste Schritt in Richtung v nicht diesen ersten Schritt zunichte macht, sollte er so verlaufen, dass der Gradient weiterhin senkrecht auf w steht. Das ist der Fall, wenn w zu v konjugiert ist: 0=w·A·v, A ist die Hessematrix von U(x).

11 Teeseminar Peter Brommer11 Generalized least squares Sei die zu minimierende Funktion. Sei ξ die genäherte Position des Minimums. Wenn das Minimum sich tatsächlich bei ξ+δ befindet, dann ist

12 Teeseminar Peter Brommer12 Taylor-Entwicklung

13 Teeseminar Peter Brommer13 Der Ansatz von Powell Seien d(1), d(2),...,d(n) n linear unabhängige Richtungen und γ (k) (i) die Ableitung von u (k) in Richtung d(i) (numerisch bestimmt). Dann ist die Korrektur δ eines genäherten Wertes ξ

14 Teeseminar Peter Brommer14 Rückführung auf Lin. Gl. Syst. Damit ist das Problem auf ein lineares Gleichungssystem zurückgeführt; der Lösungsvektor q (und damit δ) wird mit Standardverfahren berechnet.

15 Teeseminar Peter Brommer15 Eindimensionale Minimierung Wir wissen jetzt, welche Richtung am vielversprechendsten ist. Wie weit müssen wir gehen? Eindimensionale Minimierung: Ein Minimum wird erst eingeschachtelt (a

16 Teeseminar Peter Brommer16 Der Kreis schließt sich ξ ξ+λ m δ Ein d(t) wird durch δ ersetzt, so dass |p(t)·q(t)|=max|p(i)·q(i)|, i=1..n. γ (k) (t) und p(t) werden aktualisiert. Das Verfahren wird bis zur Konvergenz wiederholt. Startwerte: d(i) = Koordinatenrichtungen

17 Teeseminar Peter Brommer17 Vorteile Neue Richtungen sind konjugiert zu den bisherigen Suchrichtungen. Numerische Ableitungen müssen nur am Anfang in großer Zahl berechnet werden. Verfahren funktioniert auch für viele Variablen und Stützstellen

18 Teeseminar Peter Brommer18 Powell in Aktion Beispiel: Lennard-Jones-Potential in fcc-Kristall. 19 Punkte. 192 Atome in 6 Konfigurationen (also knapp 600 Kräfte). Ausgangspunkt des Fits war ein Null- Potential.

19 Teeseminar Peter Brommer19 Fitten an Lennard-Jones

20 Teeseminar Peter Brommer20 Skalierung Die Zeit pro Schritt skaliert linear mit der Zahl der Stützstellen Lösung des Linearen Gleichungssystems: Skaliert mit n³ (ließe sich zu n² verbessern, da sich immer nur eine Spalte und eine Zeile der Matrix ändern). Skalierung der Zahl der benötigten Schritte ist noch nicht bekannt.

21 Teeseminar Peter Brommer21 Was kostet Rechenzeit? Zahl der Atome wächst nach außen (von 32 auf 192). Bei relativ kleinem n kostet die Kraftberechnung die meiste Zeit. Aber: Matrixzerlegung skaliert mit n³!

22 Teeseminar Peter Brommer22 Schwierigkeiten allgemein Viele Funktionsaufrufe in der linearen Minimierung, schlechtere Minimierung bedeutet aber mehr Iterationen. Tendenz zur linearen Abhängigkeit der Richtungsvektoren kann nicht ausgeschlossen werden. Abbruchbedingungen nicht trivial.

23 Teeseminar Peter Brommer23 Schwierigkeiten konkret Kann nur fitten, wenn auch Abhängigkeiten vorhanden. Nachbartabellen können sehr umfangreich werden, daher hoher Speicherbedarf. Eichfreiheitsgrade müssen noch implementiert werden.

24 Teeseminar Peter Brommer24 Wie gehts weiter? Mehr Potentiale Mehr Konfigurationen EAM-Potentiale Eichfreiheitsgrade Und natürlich: Ab-initio-Daten!

25 Teeseminar Peter Brommer25 Literatur M.J.D. Powell, CompJ, 7 (1965), Is. 4


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