1 Bewegungsplanung Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann Bewegungsplanung bei unvollständiger Information Ausweg aus einem Labyrinth Finden eines.

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1 1 Bewegungsplanung Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann Bewegungsplanung bei unvollständiger Information Ausweg aus einem Labyrinth Finden eines Punktes in unbekannter Umgebung Kompetitive Strategien –Beispiel: Online-Bin-Packing –Beispiel: Suche nach einer Tür in einer Wand

2 2 Bewegungsplanung Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann Ausweg aus einem Labyrinth Gegeben sei ein punktförmiger Roboter, der nur über einen Tastsensor und einen Winkelzähler verfügt. Gesucht ist eine Strategie, mit der der Roboter aus jedem unbekannten Labyrinth herausfindet, wenn es überhaupt einen Ausweg gibt. Herausfinden = den Rand der konvexen Hülle des Labyrinths erreichen = (Entkommen = true)

3 3 Bewegungsplanung Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann 1. Versuch: An der Wand entlang Wähle Richtung beliebig; repeat folge Richtung until Wandkontakt; repeat folge der Wand until Entkommen Willkürliche Festlegung: Sobald der Roboter auf ein Hindernis trifft, dreht er sich rechts herum und läuft so an der Wand entlang, dass sich die Wand stets links von ihm befindet.

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6 6 Bewegungsplanung Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann 2. Versuch: Möglichst in Anfangsrichtung Wähle Richtung beliebig; Winkelzähler = 0; repeat folge Richtung until Wandkontakt; repeat folge der Wand until Winkelzähler mod 2π = 0 until Entkommen Roboter läuft in Anfangsrichtung, wann immer seine Nase in diese Richtung zeigt! Winkelwerte: Linksdrehung: positiv Rechtsdrehung: negativ

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9 9 Bewegungsplanung Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann 3. Versuch: Pledge Algorithmus Wähle Richtung beliebig; Winkelzähler = 0; repeat folge Richtung until Wandkontakt; repeat folge der Wand until Winkelzähler = 0 until Entkommen Vermeidet Endlosschleifen!

10 10 Bewegungsplanung Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann Korrektheit des Pledge Algorithmus Satz: Der Pledge Algorithmus findet in jedem Labyrinth von jeder Startposition aus einen Weg ins Freie, von der überhaupt ein Ausweg existiert. Lemma 1: Der Winkelzähler W nimmt niemals einen positiven Wert an. Bew. 1: Anfangs ist W = 0, sobald ein Hindernis angetroffen wird, wird W negativ, sobald W = 0 wird, löst sich der Roboter vom Hindernis und wandert in Ausgangsrichtung bis zum nächsten Hindernis!

11 11 Bewegungsplanung Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann Zu zeigen: Falls der Roboter nach dem Pledge Algorithmus keinen Weg ins Freie findet, gibt es keinen solchen Weg. Lemma 2: Angenommen, der Roboter findet nicht aus dem Labyrinth heraus. Dann besteht sein Weg bis auf ein endliches Anfangsstück aus einem geschlossenen Weg, der immer wieder durchlaufen wird. Sei P der geschlossene Weg, den der Roboter bei seinem vergeblichen Versuch, aus dem Labyrinth zu entkommen, immer wieder durchläuft. Lemma 3: Der Weg P kann sich nicht selbst kreuzen.

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13 13 Bewegungsplanung Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann Bew. des Satzes: Fall 1: Roboter durchläuft P gegen Uhrzeigersinn. Fall 2: Roboter durchläuft P im Uhrzeigersinn.

14 14 Bewegungsplanung Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann Finden eines Punktes in unbekannter Umgebung Aufgabe: Roboter soll Zielpunkt in einer unbekannten Umgebung finden Erweiterung der Fähigkeiten des Roboters: –Er kennt zu jedem Zeitpunkt seine eigenen (globalen) Koordinaten –Er kennt die (globalen Koordinaten des Zielpunktes. Strategie Bug: Roboter läuft solange auf Zielpunkt zu, bis er auf ein Hindernis trifft. Dies wird einmal umrundet. Dabei merkt sich der Roboter denjenigen Punkt auf dem Rand des Hindernisses, der dem Zielpunkt am nächsten ist, und kehrt nach der vollständigen Umrundung dorthin zurück. Von diesem Punkt aus wird der Weg in gleicher Weise fortgesetzt.

15 15 Bewegungsplanung Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann repeat laufe auf Zielpunkt zu until Wandkontakt; A = AktuellePosition; (*auf Hinderniswand*) D = AktuellePosition; (*zum Zielpunkt nächster bisher besuchter Punkt auf Hinderniswand*) repeat rücke AktuellePosition entlang der Wand vor; if AktuellePosition näher an Zielpunkt als D then D = AktuellePosition until AktuellePosition = A; gehe auf kürzestem Weg längs Hinderniswand zu D until ZielpunktErreicht

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17 17 Bewegungsplanung Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann Eigenschaften der Strategie Bug Die Strategie Bug findet stets einen Weg vom Startpunkt s zum Zielpunkt t, wenn ein solcher Weg überhaupt existiert. (Beweis: vgl. R. Klein) Der von der Strategie Bug zurückgelegte Weg kann beliebig viel länger sein als der kürzeste Weg von s nach t.

18 18 Bewegungsplanung Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann Kompetitive Strategien: Beispiel Bin-Packing Aufgabe: Gegeben eine Folge o 1, o 2, … von Objekten mit Größe 1. Verpacke die Objekte so in Kisten mit Größe 1, dass möglichst wenige Kisten gebraucht werden. Next-fit-Strategie: Packe das jeweils nächste Objekt in dieselbe Kiste wie das vorangehende, wenn es da noch hineinpasst, sonst mache eine neue Kiste auf. Die Next-fit-Strategie verbraucht höchstens doppelt so viele Kisten, wie bei optimaler Packung erforderlich wären.

19 19 Bewegungsplanung Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann Kompetitivität einer Strategie Sei ein Problem und S eine Strategie, die jedes Problem P aus korrekt löst und dabei Kosten K S (P) verursacht. Strategie S heißt kompetitiv mit Faktor C, wenn es eine Konstante A gibt, sodass für jedes Beispiel P gilt: K S (P) C K opt (P) + A, mit K opt (P) = Kosten einer optimalen Lösung Next-fit ist kompetitiv mit Faktor 2.

20 20 Bewegungsplanung Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann Suche nach einer Tür in einer Wand Roboter mit Tastsensor soll eine Tür in einer (beliebig langen) Wand finden, die sich in unbekanntem Abstand d und unbekannter Richtung vom Startpunkt befindet. 1. Versuch: Wechsele Suchrichtung und erhöhe Suchtiefe inkrementell um je 1.

21 21 Bewegungsplanung Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann Verdopplungsstrategie 2. Versuch: Verdopple die Suchtiefe nach jedem Richtungswechsel.

22 22 Bewegungsplanung Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann Eigenschaften der Verdopplungsstrategie Satz 1: Die Strategie der abwechselnden Verdopplung der Suchtiefe ist kompetitiv mit dem Faktor 9. Satz 2: Jede kompetitive Strategie zum Auffinden eines Punkts auf einer Geraden hat einen Faktor 9. Das Prinzip der exponentiellen Vergrößerung der Suchtiefe ist erweiterbar auf andere und mehr als zwei Suchräume. Satz 3: Diese Suchstrategie für m Halbgeraden ist kompetitiv mit dem Faktor (2 m m / (m -1) m-1 ) + 1 2em +1 Dabei ist e = 2.718… die Eulersche Zahl.