Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Folgen und Reihen. Beispiele Beispiele für Folgen: Beispiele für Folgen: Fibonacci – Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …Fibonacci – Folge 0, 1, 1, 2, 3,

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Folgen und Reihen. Beispiele Beispiele für Folgen: Beispiele für Folgen: Fibonacci – Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …Fibonacci – Folge 0, 1, 1, 2, 3,"—  Präsentation transkript:

1 Folgen und Reihen

2 Beispiele Beispiele für Folgen: Beispiele für Folgen: Fibonacci – Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …Fibonacci – Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Folge der Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, …Folge der Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, … Beispiele für Reihen: Beispiele für Reihen: Geometrische Reihe:Geometrische Reihe:

3 Definition einer Folge Definition: Definition: Eine Folge ist eine Funktion, deren Definitionsbereich gleich der Menge der natürlichen Zahlen N ist.Eine Folge ist eine Funktion, deren Definitionsbereich gleich der Menge der natürlichen Zahlen N ist. Die Zahlen des Wertebereichs nennt man Glieder der Folge.Die Zahlen des Wertebereichs nennt man Glieder der Folge. Der Wertebereich muss nicht gleich N sein.Der Wertebereich muss nicht gleich N sein.

4 Beispiel für eine Folge Beispiel Kindergeld: Beispiel Kindergeld: Wenn man ein Kind hat, bekommt man z.B. 200€ Kindergeld, bei zwei Kindern 400€ usw.Wenn man ein Kind hat, bekommt man z.B. 200€ Kindergeld, bei zwei Kindern 400€ usw. Der Definitionsbereich besteht nur aus natürlichen Zahlen, da man ja nicht 2 ¼ Kinder haben kann.Der Definitionsbereich besteht nur aus natürlichen Zahlen, da man ja nicht 2 ¼ Kinder haben kann.

5 Übung Welche Diagramme stellen eine Folge dar? Welche Diagramme stellen eine Folge dar? Dies ist zwar eine Relation, aber keine Funktion, => also auch keine Folge! Definitionsbereich ist nicht gleich N => keine Folge! Dies ist eine Folge

6 Explizite oder Rekursiv? Explizite Definition: Explizite Definition: Formel, aus der ein beliebiges Folgenglied (a n ) sofort berechnet werden kann.Formel, aus der ein beliebiges Folgenglied (a n ) sofort berechnet werden kann. Bsp.:, d.h.Bsp.:, d.h. Rekursive Definition: Rekursive Definition: Das erste Glied der Folge (a 1 ) wird angegebenDas erste Glied der Folge (a 1 ) wird angegeben und eine Formel, mit der man aus einem beliebigen Folgenglied (a n ) das nachfolgende (a n+1 ) berechnen kann.und eine Formel, mit der man aus einem beliebigen Folgenglied (a n ) das nachfolgende (a n+1 ) berechnen kann. Bsp.:Bsp.:

7 Übung 1 Eine Folge sei geg. durch: Eine Folge sei geg. durch: Ist die Definition explizit oder rekursiv?Ist die Definition explizit oder rekursiv? Wie heißt das 4.Glied dieser Folge?Wie heißt das 4.Glied dieser Folge? Lösung: Lösung: Es handelt sich um eine explizite Definition.Es handelt sich um eine explizite Definition...

8 Übung 2 Folgende Folge sei gegeben: Folgende Folge sei gegeben: Definiere diese Folge rekursiv!Definiere diese Folge rekursiv! Lösung: Lösung: Das erste Glied hat den Wert 25 =>Das erste Glied hat den Wert 25 => Jedes Glied hat den doppelten Wert wie das vorherige =>Jedes Glied hat den doppelten Wert wie das vorherige => a n = (25, 50, 100, 200, 400, 800, 1600,...)

9 Graph einer Folge Graph der Folge Kindergeld: Graph der Folge Kindergeld: Für ein Kind: 200 €Für ein Kind: 200 € Für zwei Kinder: 400 €Für zwei Kinder: 400 € Für drei Kinder: 550 €Für drei Kinder: 550 € Für vier Kinder: 650 €Für vier Kinder: 650 € Für fünf Kinder: 700 €Für fünf Kinder: 700 € …

10 Graph einer Folge Graph der Folge Kindergeld: Graph der Folge Kindergeld: Weil der Definitionsbereich einer Folge nur die Menge der natürlichen Zahlen ist, => besteht der Graph einer Folge nur aus einzelnen Punkten.Weil der Definitionsbereich einer Folge nur die Menge der natürlichen Zahlen ist, => besteht der Graph einer Folge nur aus einzelnen Punkten.

11 Spezielle Folgen Arithmetische Folgen Arithmetische Folgen Geometrische Folgen Geometrische Folgen Alternierende Folgen Alternierende Folgen

12 Arithmetische Folgen (1) Definition: Definition: Bei arithmetischen Folgen ist die Differenz d zwischen zwei benachbarten Folgengliedern konstant, d.h. es gilt:Bei arithmetischen Folgen ist die Differenz d zwischen zwei benachbarten Folgengliedern konstant, d.h. es gilt: Beispiel:Beispiel: a n+1 – a n = d

13 Arithmetische Folgen (2) Bildungsgesetz für arithmetische Folgen: Bildungsgesetz für arithmetische Folgen: Das n-te Folgenglied wird errechnet, indem zum ersten (n-1)-mal die Differenz d addiert wird. => Bildungsgesetz für arithmetische Folgen: a n = a 1 + (n -1) · d

14 Arithmetische Folgen (3) Übung: Übung: Bestimmen Sie die fehlenden Größen:Bestimmen Sie die fehlenden Größen: a) a n = 5 + 6*9 = 59 a) a n = 5 + 6*9 = 59 b) a 1 = 27 – 3*8 = 3 b) a 1 = 27 – 3*8 = 3 c) 71 – 16 = (n-1)*5 c) 71 – 16 = (n-1)*5 => n = 12 => n = 12 d) 69 – 9 = 20*d d) 69 – 9 = 20*d => d = 3 => d = 3

15 Spezielle Folgen Arithmetische Folge Arithmetische Folge Geometrische Folge Geometrische Folge Alternierende Folge Alternierende Folge

16 Geometrische Folgen (1) Definition: Definition: Bei geometrischen Folgen ist der Quotient q zweier benachbarter Folgenglieder konstant, d.h. es gilt:Bei geometrischen Folgen ist der Quotient q zweier benachbarter Folgenglieder konstant, d.h. es gilt: Beispiel:Beispiel:

17 Geometrische Folgen (2) Bildungsgesetz für geometrische Folgen: Bildungsgesetz für geometrische Folgen: Das n-te Folgenglied wird errechnet, indem zum ersten (n-1)-mal der Quotient q hinzumultipliziert wird. => Bildungsgesetz für geometrische Folgen: a n = a 1 · q n-1

18 Geometrische Folgen (3) Übung 1: Übung 1: Bestimmen Sie die fehlenden Größen:Bestimmen Sie die fehlenden Größen: a) a n = 3*2 3 = 24 a) a n = 3*2 3 = 24 b) a 1 = 567 / 3 4 = 7 b) a 1 = 567 / 3 4 = 7 c) 245 = 5 * 7 n-1 c) 245 = 5 * 7 n-1 => n = 3 => n = 3 d) 3,125 = 100 * q 5 d) 3,125 = 100 * q 5 => q = => q =

19 Geometrische Folgen (4) Übung 2: Übung 2: Untersuchen Sie, ob die angegebenen Zahlen den Anfang einer geometrischen Folge bilden. a) 1; 2; 4; 8b) 2; -6; 18; -54 c) 1; 1/2; 1/6; 1/24d) 1; 4; 9; 16Untersuchen Sie, ob die angegebenen Zahlen den Anfang einer geometrischen Folge bilden. a) 1; 2; 4; 8b) 2; -6; 18; -54 c) 1; 1/2; 1/6; 1/24d) 1; 4; 9; 16Lösungen: a) a n =2 n-1 b) a n = 2∙(-3) n-1a) a n =2 n-1 b) a n = 2∙(-3) n-1 c) Nein, da a 1 ∙ 1/2 = a 2, aber a 2 ∙ 1/3 = a 3c) Nein, da a 1 ∙ 1/2 = a 2, aber a 2 ∙ 1/3 = a 3 d) Nein, da a 1 ∙ 4 = a 2, aber a 2 ∙ 9/4 = a 3d) Nein, da a 1 ∙ 4 = a 2, aber a 2 ∙ 9/4 = a 3 Übungsaufgaben: arithmetisch oder geometrisch? Übungsaufgaben: arithmetisch oder geometrisch?arithmetisch oder geometrisch?arithmetisch oder geometrisch?

20 Spezielle Folgen Arithmetische Folge Arithmetische Folge Geometrische Folge Geometrische Folge Alternierende Folge Alternierende Folge

21 Alternierende Folgen Definition: Definition: Bei alternierenden Folgen steigen oder sinken die Folgenglieder nicht kontinuierlich, sondern wechseln ständig ihr Vorzeichen.Bei alternierenden Folgen steigen oder sinken die Folgenglieder nicht kontinuierlich, sondern wechseln ständig ihr Vorzeichen. Beispiel:Beispiel: a n = (-1) n => -1, 1, -1, 1, -1, 1, …

22 Eigenschaften von Folgen Monotonie Monotonie Beschränktheit Beschränktheit Anwendung Chaosforschung Anwendung Chaosforschung

23 Monotonie Eine Folge a n ist monoton steigend, Eine Folge a n ist monoton steigend, wenn jedes Glied der Folge größer oder gleich dem vorhergehenden Glied istwenn jedes Glied der Folge größer oder gleich dem vorhergehenden Glied ist Eine Folge a n ist monoton fallend, Eine Folge a n ist monoton fallend, wenn jedes Glied der Folge kleiner oder gleich dem vorhergehenden Glied istwenn jedes Glied der Folge kleiner oder gleich dem vorhergehenden Glied ist a n+1 ≥ a n bzw. a n+1 - a n ≥ 0 (für alle n  N) a n+1 ≤ a n bzw. a n+1 - a n ≤ 0 (für alle n  N)

24 Strenge Monotonie Eine Folge a n ist streng monoton steigend, Eine Folge a n ist streng monoton steigend, wenn jedes Glied der Folge echt größer dem vorhergehenden Glied istwenn jedes Glied der Folge echt größer dem vorhergehenden Glied ist Eine Folge a n ist streng monoton fallend, Eine Folge a n ist streng monoton fallend, wenn jedes Glied der Folge echt kleiner dem vorhergehenden Glied istwenn jedes Glied der Folge echt kleiner dem vorhergehenden Glied ist a n+1 > a n bzw. a n+1 – a n > 0 (für alle n  N) a n+1 < a n bzw. a n+1 – a n < 0 (für alle n  N)

25 Nachweis von Monotonie Um Monotonie nachzuweisen, untersucht man die Differenz Um Monotonie nachzuweisen, untersucht man die Differenz Beispiel: Beispiel: Welche Monotonie kann bei der FolgeWelche Monotonie kann bei der Folge nachgewiesen werden? nachgewiesen werden? a n+1 - a n

26 Beispiel Monotonienachweis 1. Berechne a n+1 :1. Berechne a n+1 : 2. Berechne a n+1 - a n :2. Berechne a n+1 - a n : 3. Vereinfachen:3. Vereinfachen:Vereinfachen 4. ggf. Fallunterscheidung:4. ggf. Fallunterscheidung: Da n aus der Menge der natürlichen Zahlen, ist hier der Nenner immer positiv und der Zähler immer negativ => die Differenz a n+1 – a n die Differenz a n+1 – a n < 0 => die Folge ist streng monoton fallend

27 Eigenschaften von Folgen Monotonie Monotonie Beschränktheit Beschränktheit Anwendung Chaosforschung Anwendung Chaosforschung

28 Beschränktheit (1) Eine Folge a n ist nach unten beschränkt, Eine Folge a n ist nach unten beschränkt, wenn eine sogenannte untere Schranke s existiert, so dasswenn eine sogenannte untere Schranke s existiert, so dass Eine Folge a n ist nach oben beschränkt, Eine Folge a n ist nach oben beschränkt, wenn eine sogenannte obere Schranke s existiert, so dasswenn eine sogenannte obere Schranke s existiert, so dass a n ≥ s (für alle n  N)

29 Beispiele Beschränktheit (1) Bsp.: Folge a n nach unten beschränkt:Bsp.: Folge a n nach unten beschränkt: Die Folge a n = 2n mit 2, 4, 6, 8, 10,… ist streng monoton steigend und beginnt mit 2 => es gibt kein Folgenglied es gibt kein Folgenglied < 2 => s = 2 nennt man die untere Schranke von a n Bsp.: Folge a n nach oben beschränkt:Bsp.: Folge a n nach oben beschränkt: Die Folge a n = - 2n mit - 2, - 4, - 6, - 8, - 10,… Die Folge a n = - 2n mit - 2, - 4, - 6, - 8, - 10,… ist streng monoton fallend und beginnt mit - 2 ist streng monoton fallend und beginnt mit - 2 => es gibt kein Folgenglied > - 2 => es gibt kein Folgenglied > - 2 => S = - 2 nennt man die obere Schranke von a n => S = - 2 nennt man die obere Schranke von a n Graph

30 Beschränktheit nach unten Nicht nur die 2 ist eine untere Schranke, sondern jede Zahl <2, d.h. s = 2 ist die größte untere Schranke zurück

31 Beschränktheit nach oben Nicht nur die - 2 ist eine obere Schranke, sondern jede Zahl > - 2, d.h. S = - 2 ist die kleinste obere Schranke zurück

32 Beschränktheit (2) Eine Folge a n ist beschränkt, Eine Folge a n ist beschränkt, untere Schranke swenn eine untere Schranke s und eine obere Schranke S existieren, so dass Beispiel für eine beschränkte Folge a n : Beispiel für eine beschränkte Folge a n : bzw. bzw. da gilt: da gilt: s ≤ a n ≤ S (für alle n  N) 0 < a n ≤ 1 (für alle n  N)

33 Eigenschaften von Folgen Monotonie Monotonie Beschränktheit Beschränktheit Anwendung Chaosforschung Anwendung Chaosforschung

34 Schneeflocken - Figuren Zu Beginn der Chaosforschung hat man unter anderem die sogenannten „Schneeflockenfiguren“ untersucht. Beschreiben Sie, wie diese Figuren entstehen und welche Eigenschaften sie haben. S1S1 S2S2 S3S3 S4S4

35 Entstehung Schneeflocken Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks am Start sei = 1.Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks am Start sei = 1. Startseite wird in 3 gleich große Teile unterteiltStartseite wird in 3 gleich große Teile unterteilt Über dem mittleren Teil wird ein neues gleichseitiges Dreieck gebildet.Über dem mittleren Teil wird ein neues gleichseitiges Dreieck gebildet.

36 Schneeflocken - Folgen Auftrag:Auftrag: Bestimmen Sie:Bestimmen Sie: a) Die Folge z n der Anzahl der Seiten b) Die Folge s n der Seitenlängen c) Die Folge u n der Umfänge der Figuren S1S1 S2S2 S3S3 S4S4

37 Schneeflocken - Folgen FigurSeitenzahl z n Länge s n Umfang u n F1F1F1F131 z 1 ∙s 1 = 3 F2F2F2F2 3∙4 = 12 1/3 z 2 ∙s 2 = 4 F3F3F3F3 3∙4∙4 = 48 1/3² z 3 ∙s 3 ≈ 5,33 F4F4F4F4 3∙4∙4∙4 = 194 1/3³ z 4 ∙s 4 ≈ 7,11 FnFnFnFn 3∙4 n-1 1/3 (n-1) 3∙ (4/3) n-1 Diskutiere das Monotonieverhalten der einzelnen Folgen!

38 Schneeflocken - Flächen Welche Eigenschaften lassen sich für die Folge der Flächeninhalte vermuten?Welche Eigenschaften lassen sich für die Folge der Flächeninhalte vermuten? streng monoton wachsendstreng monoton wachsend nach oben beschränktnach oben beschränkt => diese Vermutung wird gestützt durch die Tatsache, dass alle Schneeflockenfiguren in ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 passen.=> diese Vermutung wird gestützt durch die Tatsache, dass alle Schneeflockenfiguren in ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 passen.

39 Grenzwerte von Folgen Nullfolgen Nullfolgen Konvergente Folgen Konvergente Folgen Nullfolgen – konvergente Folgen Nullfolgen – konvergente Folgen Anwendung Grenzwerte Anwendung Grenzwerte

40 Nullfolge Anschauliche Definition: Anschauliche Definition: Eine Nullfolge ist eine Folge, deren Glieder a n sich für wachsendes n immer mehr dem Wert Null annähern.Eine Nullfolge ist eine Folge, deren Glieder a n sich für wachsendes n immer mehr dem Wert Null annähern. Beispiel:Beispiel: Graph

41 Beispiel Nullfolge Wie man sieht, nähern sich die Glieder dieser Folge immer mehr der Null. zurück

42 Nullfolge Mathematische Definition: Mathematische Definition: Die Folge {a n } heißt Nullfolge, wenn ab einem bestimmten Glied N(ε), alle Glieder der Folge betragsmäßig kleiner als ε sind und ε beliebig klein gewählt werden kann. Als Formel:Die Folge {a n } heißt Nullfolge, wenn ab einem bestimmten Glied N(ε), alle Glieder der Folge betragsmäßig kleiner als ε sind und ε beliebig klein gewählt werden kann. Als Formel: Veranschaulichung anVeranschaulichung an Graph εε |a n | < ε (für alle n ≥ N(ε), ε beliebig klein)

43 Beispiel Nullfolge Die Folgenglieder werden kleiner als ein bestimmtes ε. Die Folge ist somit eine Nullfolge. zurück

44 Erläuterungen Nullfolge Wofür genau steht N(ε)? Wofür genau steht N(ε)? Wir betrachten wieder eine Nullfolge und ein beliebiges ε.Wir betrachten wieder eine Nullfolge und ein beliebiges ε. Die erste Zahl n, bei der ein Glied kleiner ist als ε, nennt man N(ε).Die erste Zahl n, bei der ein Glied kleiner ist als ε, nennt man N(ε).

45 Nullfolgen mit negativen Gliedern Hat die Nullfolge negative Glieder, ist nicht mehr das N(ε) gesucht für a n < ε, sondern es muss das N(ε) bestimmt werden fürHat die Nullfolge negative Glieder, ist nicht mehr das N(ε) gesucht für a n < ε, sondern es muss das N(ε) bestimmt werden für Man fragt also allg.,Man fragt also allg., wann die Folge a n den Bereich + / - ε erreicht hat. ε |a n | < ε

46 Grenzwerte von Folgen Nullfolgen Nullfolgen Konvergente Folgen Konvergente Folgen Nullfolgen – konvergente Folgen Nullfolgen – konvergente Folgen Anwendung Grenzwerte Anwendung Grenzwerte

47 Konvergente Folgen (1) Anschauliche Definition: Anschauliche Definition: Streben die Glieder einer Folge beständig einem bestimmten Wert entgegen, so wie die Nullfolge dem Wert Null, so sagt man:Streben die Glieder einer Folge beständig einem bestimmten Wert entgegen, so wie die Nullfolge dem Wert Null, so sagt man: => die Folge konvergiert. Beispiel: Konvergenz gegen den Wert 2.Beispiel: Konvergenz gegen den Wert 2.Beispiel:

48 Beispiel konvergente Folge Die Folgenglieder konvergieren von oben gegen den Wert 2. zurück

49 Grenzwert einer Folge Möglichkeiten der Konvergenz: Möglichkeiten der Konvergenz: Die Annäherung an den endgültigen Wert kannDie Annäherung an den endgültigen Wert kann von oben von oben von unten von unten alternierend alternierend oder auf andere Weise erfolgen. oder auf andere Weise erfolgen. Der Wert, gegen den eine Folge konvergiert, heißt:Der Wert, gegen den eine Folge konvergiert, heißt: Grenzwert der Folge. Grenzwert der Folge. Beispiel: Andere Konvergenz gegen den Wert 2.Beispiel: Andere Konvergenz gegen den Wert 2.Beispiel:

50 Beispiel konvergente Folge Die Folgenglieder konvergieren gegen den Grenzwert 2. zurück

51 Konvergente Folgen (2) Mathematische Definition: Mathematische Definition: Eine Folge konvergiert gegen a, wenn ab einem bestimmten Glied alle Glieder einen Wert zwischen undEine Folge konvergiert gegen a, wenn ab einem bestimmten Glied alle Glieder einen Wert zwischen und haben, d.h. in der Umgebung a  ε liegen, wobei ε beliebig klein gewählt werden darf. Beispiel: Konvergenz gegen den Grenzwert a = 2.Beispiel: Konvergenz gegen den Grenzwert a = 2.Beispiel: a - ε a + ε

52 Beispiel konvergente Folge Hier wurde der Grenzwert a = 2 und ε = 0,25 gewählt. => Ab dem 6.Glied liegen alle in der ε-Umgebung. zurück

53 Grenzwerte von Folgen Nullfolgen Nullfolgen Konvergente Folgen Konvergente Folgen Nullfolgen – konvergente Folgen Nullfolgen – konvergente Folgen Anwendung Grenzwerte Anwendung Grenzwerte

54 Nullfolge – konvergente Folge Welchen Zusammenhang erkennst Du zwischen den beiden gezeigten Folgen? Die Folge konvergiert genau dann gegen den Grenzwert a, wenn die Folge eine Nullfolge ist.

55 Grenzwerte von Folgen Nullfolgen Nullfolgen Konvergente Folgen Konvergente Folgen Nullfolgen – konvergente Folgen Nullfolgen – konvergente Folgen Anwendung Grenzwerte Anwendung Grenzwerte

56 Grenzwertsätze Summensatz Summensatz Differenzsatz Differenzsatz

57 Summensatz Summensatz: Summensatz: Gegeben seien zwei konvergente Folgen:Gegeben seien zwei konvergente Folgen: Die Folge konvergiert gegen a, die Folge konvergiert gegen b. => Summenfolge konvergiert gegen a+b. Beispiel:LösungBeispiel:LösungLösung

58 Lösung Beispielaufgabe Bruch als SummeBruch als Summe KürzenKürzen SummensatzSummensatz zurück

59 Beweis Summensatz Summensatz: Summensatz: Gegeben seien zwei konvergente Folgen:Gegeben seien zwei konvergente Folgen: Die Folge konvergiert gegen a, die Folge konvergiert gegen b. => Summenfolge konvergiert gegen a+b. Beispiel:LösungBeispiel:LösungLösung

60 Grenzwerte von Folgen Anwendungen Grenzwert einer Folge Anwendungen Grenzwert einer Folge Achill und Schildkröte bzw. Ölverbrauch (blaues Buch)Achill und Schildkröte bzw. Ölverbrauch (blaues Buch) Grenzwertsätze für Folgen (gelbes Buch) Grenzwertsätze für Folgen (gelbes Buch) Die eulersche Zahl (Lambacher) Die eulersche Zahl (Lambacher) Vollständige Induktion (Lambacher + Buckel) Vollständige Induktion (Lambacher + Buckel)


Herunterladen ppt "Folgen und Reihen. Beispiele Beispiele für Folgen: Beispiele für Folgen: Fibonacci – Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …Fibonacci – Folge 0, 1, 1, 2, 3,"

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen