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Nichtstandard-Analysis Mathematik-Didaktik B Referenten: Alexander Hochstein Christian Herrmann Friedrich- Schiller Universität Jena Jena, d. 20.01.2009.

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1 Nichtstandard-Analysis Mathematik-Didaktik B Referenten: Alexander Hochstein Christian Herrmann Friedrich- Schiller Universität Jena Jena, d

2 2 Gliederung 1. Einleitung / Motivation 2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem 4. Anwendungen der Infinitesimalzahlen in der Nichtstandard-Analysis 5. Literatur

3 3 1. Einleitung Was ist ein Differential? → dx, dy, dz Differentialquotient → →

4 4 1. Einleitung Wieso kann man mit Differentialen rechnen? Beispiel: Integration durch Substitution

5 5 2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen Tangentenproblem o Gegeben: Funktion f(x)=x² o Gesucht: Tangente im Punkt P=(0.5,0.25) o Grundproblem: Wie erhält man den Anstieg der Tangente?

6 6

7 7

8 8 2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen Sekantensteigung o Die Sekante liegt,,nah“ bei der Tangente → ihre Steigung wird,,nah“ bei der Tangente liegen → noch besseres Resultat, wenn eine Sekante durch die Punkte P=(0.5,0.25) und B=(0.51,0.2601) gelegt wird

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10 10 2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen Sekantensteigung → Sekantensteigungen geben nur Näherungswerte → mit Hilfe von Infinitesimalzahlen wird die Tangente durch eine Sekante approximiert, welche nicht von der Tangente zu unterscheiden ist

11 11 Was sind Infinitesimalzahlen? 2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen o sie sind unglaublich,,winzig“, aber nicht Null o sie sind kleiner als jede reelle positive Zahl → wir,,erfinden“ neue Zahlen o wir betrachten einen zweiten Punkt C=(0.5+,(0.5+)²), welcher vom gegeben Punkt P=(0.5,0.25) unendlich wenig entfernt ist,  infinitesimal

12 12 (0.5+)²  0.5

13 13 2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen Sekantensteigung o da  eine unendlich kleine Zahl ist (infinitesimal), kann 1+  nicht von 1 unterschieden werden →

14 14 2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen o bei den Rechnungen wurde das reelle und das hyperreelle Zahlensystem benutzt o das hyperreelle Zahlensystem enthält alle reellen Zahlen, Infinitesimalzahlen und andere hyperreelle Zahlen o Mangel an,,Strenge“ verhinderte, dass die Infinitesimalmethode als Begründung für die Analysis akzeptiert wurde

15 15 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem o Axiom der Infinitesimalzahlen: Es gibt hyperreelle Zahlen ≠0, so dass für jede positive reelle Zahl b gilt: - b<

16 16 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem o es gibt riesig große Zahlen, größer als jede reelle Zahl,, infinitesimal

17 17 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem 0  0 ²³/5/2

18 18 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem o b reell und  infinitesimal → b+ ist unendlich benachbart zu b o Definition: Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen unendlich benachbart, wenn x - y eine Infinitesimalzahl ist, Bez.: x ≈ y o Definition: Eine hyperreelle Zahl x heißt endlich, wenn es eine reelle Zahl b gibt, so dass –b

19 19 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem traditionellunkonventionell Grenzwert reelle Zahl 0 bestimmt eine unendlich kleine Zahl Grenzwert reelle Zahl 0 bestimmt eine andere unendlich kleine Zahl kein Grenzwertbestimmt eine unendlich große Zahl kein Grenzwertbestimmt eine andere unendlich große Zahl

20 20 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem o Standardanteilaxiom: Für jede endliche hyperreelle Zahl x gibt es genau eine reelle Zahl b mit x ≈ b. b heißt Standardanteil von x, Bez.: b=st(x) Beispiel: 5+,  infinitesimal → st(5+)=5 o Rechnen mit hyperreellen Zahlen Beispiel 1:  infinitesimal, x endlich → x∙ infinitesimal Beispiel 2: ,ß infinitesimal u. nicht 0 → /ß kann infinitesimal sein, oder endlich und nicht infinitesimal, oder sogar unendlich

21 21 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem Beweis: für =ß²: /ß=ß infinitesimal für =ß: /ß=1 endlich und nicht infinitesimal für ß=²: /ß=1/ unendlich o ,ß Infinitesimalzahlen o c,d endliche nicht infinitesimale Zahlen o A,B unendliche Hyperzahlen

22 22 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem +ßinfinitesimal +c oder c+endlich, nicht infinitesimal B+c oder B+unendlich A+Bkann infinitesimal, endlich oder unendlich sein -ß-ßinfinitesimal  - c oder c - endlich, nicht infinitesimal B - c oder B - unendlich A-BA-Bkann infinitesimal, endlich oder unendlich sein AdditionSubtraktion

23 23 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem ∙ßinfinitesimal ∙cinfinitesimal B∙cunendlich B∙kann infinitesimal, endlich oder unendlich sein /cinfinitesimal c/unendlich /Binfinitesimal c/dendlich B/unendlich MultiplikationDivision

24 24 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem Aufgaben ( infinitesimal; c u. d endlich; A unendlich groß) o c(d+) o (4 - )² - 16 o o o

25 25 3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem Lösung

26 26 5. Literatur Laugwitz, D.; Schnitzspan, W.: Nichtstandard - Analysis. MU, Jg. 29, Heft 4, August Laugwitz, D.: Infinitesimalkalkül. Eine elementare Einführung in die Nichtstandard - Analysis. BI, Mannheim, Wien, Zürich 1978.


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