Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 7 / 1 Kapitel 7 Gleichungskalkül Gruppe ist eine Algebra G = [G ; , inv,

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 7 / 1 Kapitel 7 Gleichungskalkül Gruppe ist eine Algebra G = [G ; , inv,"—  Präsentation transkript:

1 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 7 / 1 Kapitel 7 Gleichungskalkül Gruppe ist eine Algebra G = [G ; , inv, e], für die gilt: (x  y)  z = x  (y  z ) x  e = e  x = x x  inv(x) = inv(x)  x = e für alle Gruppenelemente x, y, z  G. Dann haben wir aber z.B. auch inv(e) = e y  (inv(y)  x) = x inv(x  y) = inv(y)  inv(x) ~~~~~~~~~~~~ ? definierende Gleichungen  gültige Gleichungen ? In T  (X) gibt es keinerlei Gesetze - „anarchische Algebra“

2 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 7 / 2 Definition “Gleichungssystem" Eine  -Gleichung der Sorte s über dem Variablen- system X = (X s ) s  S ist ein Paar (e 1, e 2 ) von Aus- drücken aus T  (X) s. Ein  -Gleichungssystem E über X ist eine S-sortige Familie von Mengen von  -Gleichungen. Für (e 1, e 2 )  E schreibt man oft e 1 = e 2. Wesentliche Voraussetzung für alle folgenden Überlegungen: alle betrachteten Algebren haben nur nichtleere Trägermengen vgl. J.A. Goguen, J. Meseguer, Completeness of many-sorted equational logic [1981]

3 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 7 / 3 Definition “Gültigkeit, Modell, Varietät" Es sei A eine  -Algebra. Die A -Belegung b von X erfüllt die  -Gleichung (e 1, e 2 ) über X, kurz b erf A e 1 = e 2, gdw. für die homomorphe Fortsetzung b* von b auf T  (X) gilt: b*(e 1 ) = b*(e 2 ). Die Gleichung e 1 = e 2 heißt in A gültig oder eine Identität in A, kurz A |= e 1 = e 2, gdw. für alle A -Belegungen b von X gilt b erf A e 1 = e 2.

4 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 7 / 4 Forts. Definition “Gültigkeit, Modell, Varietät" Ein  -Gleichungssystem E heißt gültig in A oder A heißt ein Modell für E, kurz A |= E, gdw. alle Gleichungen in A gültig sind. A heißt dann auch eine ( ,E)-Algebra. Die Klasse aller ( ,E)-Algebren heißt die durch E definierte Varietät bzw. eine gleichungsdefinierbare Klasse. Wir bezeichnen sie im folgenden durch Alg ,E. Die Klasse aller  -Algebren bezeichnen wir im folgenden analog durch Alg .

5 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 7 / 5 Homomorphe Bilder von Gleichungsmodellen: Es sei E ein  -Gleichungssystem über X, und A eine ( ,E)-Algebra. Dann ist jedes homomorphe Bild B von A ebenfalls Modell von E. Beweisidee: B b  b* X T  (X) h f* f A Jedes b ist b = h  f für geeignetes f  b* = h  f*. Für alle (e 1, e 2 )  E ist f*(e 1 ) = f*( e 2 )  b*(e 1 ) = b*( e 2 ).

6 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 7 / 6 1. BIRKHOFF-Theorem: Georg David Birkhoff ( ) Varietäten lassen sich als diejenigen Algebrenklassen charakterisieren, die gegen Unteralgebrenbildung, homomorphe Bilder und Bildung des direkten Produkts abgeschlossen sind. Der Abschluß der Algebrenklasse K gegenüber den drei genannten Operatoren über Algebrenklassen ist notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß K Modellklasse eines geeigneten Gleichungssystems, also durch Gleichungen axiomatisierbar, ist.

7 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 7 / 7 Definition “stabiler Abschluß“ E sei ein  -Gleichungssystem über X. Eine  -Gleichung (e 1, e 2 )  T  (X)  T  (X) entsteht durch Einsetzung aus E gdw. es e 1 ', e 2 '  T  (X) und eine Einsetzung s: X  T  (X) gibt, so daß e 1 = sub(e 1 ', s), e 2 = sub(e 2 ', s) und (e 1 ', e 2 ')  E. S(E) bezeichne das System aller Gleichungen, das aus E durch Einsetzung entsteht, und heißt der stabile Abschluß von E. Einsetzungsregel: A sei eine ( ,E)-Algebra. Dann gilt auch A |= S(E). m.a.W.: In Modellen von E sind auch die durch Einsetzung aus E entstehenden Gleichungen gültig.

8 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 7 / 8 Definition “erzeugte Kongruenz“ Die Relation  E =  { R | S(E)  R und R ist  -Kongruenz über T  (X) } heißt die von der Relation S(E) erzeugte Kongruenz über T  (X).  E ist offensichtlich Kongruenz über T  (X), und zwar die kleinste, die S(E) umfaßt. Definition “syntaktische Äquivalenz“ Die von der Relation S(E) erzeugte Kongruenz  E heißt auch syntaktische Äquivalenz der Klasse Alg ,E aller ( ,E)-Algebren.

9 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 7 / 9 Ableitungsbegriff für die syntaktische Äquivalenz: Anfang 0. Für (e 1, e 2 )  S(E) gilt  E e 1 = e 2. reflexiver Abschluß 1. Für alle e  T  (X) gilt  E e = e. symmetrischer Abschluß 2. Wenn  E e 1 = e 2, so gilt  E e 2 = e 1. transitiver Abschluß 3. Wenn  E e 1 = e 2 und  E e 2 = e 3, so  E e 1 = e 3. kompatibler Abschluß 4. Für alle    mit  (  ) = (s 1,s 2,...,s n,s) gilt: Wenn  E e i = e i ' und e i, e i '  T  (X) s i für 1  i  n, so  E  e 1 e 2... e n =  e 1 'e 2 '... e n '. Weitere Gründe für  E e 1 = e 2 gibt es nicht. e 1  E e 2 gilt genau dann, wenn  E e 1 = e 2.

10 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 7 / 10 Man erhält die syntaktische Äquivalenz  E auch als direkte Anwendung der Hüllenoperatoren reflexiver Abschluß, stabiler Abschluß, symmetrischer Abschluß, transitiver Abschluß und kompatibler Abschluß (in geeigneter Reihenfolge!) auf das Gleichungssystem E als Ausgangsrelation. Widerspruchsfreiheit der syntaktischen Äquivalenz: E sei ein  -Gleichungssystem und es gelte e 1  E e 2. Dann gilt für jede ( ,E)-Algebra A auch A |= e 1 = e 2. Der Beweis kann leicht induktiv über eine der Verfahren zur Erzeugung der syntaktischen Äquvalenz geführt werden. Wesentliche Grundlage ist die obige Einsetzungsregel.

11 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 7 / 11 Definition “semantische Äquivalenz“ Das S-sortige System von Äquivalenzrelationen  E in T  (X), das definiert ist durch e 1  E e 2 gdw. für alle ( ,E)-Algebren A gilt A |= e 1 =e 2, heißt semantische Äquivalenz der Klasse Alg ,E aller ( ,E)-Algebren. Aus der syntaktischen Äquivalenz folgt stets die semantische Äquivalenz: e 1  E e 2  e 1  E e 2. ? E xistieren freie Algebren in Alg ,E ?

12 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 7 / 12 Zu Gruppe G = [G ; , inv, e] gehören Gleichungen E T(X)T(X) x  inv(x) inv(x)  x e inv(e) y  inv(y) x  e x e  x y  (inv(y)  x) z  e e  z z x  (inv(x)  z) (x  y)  e x  y e  (x  y) y  (inv(y)  (x  y)) inv(x  y) inv(x  y)  e e  inv(x  y) x  (inv(x)  inv(x  y)) inv(y)  inv(x) Identifikation von Termen wegen E „Umformungen“ T(X)  ET(X)  E

13 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 7 / 13 Definition “Faktorisierung der Termalgebra“ E sei ein  -Gleichungssystem über X. Dann wird gesetzt: T ,E (X) = df T  (X)   E. T ,E (X) ist eine ( ,E)-Algebra. Vollständigkeit des Gleichungskalküls / 2. BIRKHOFF-Theorem: Die syntaktische Äquivalenz  E fällt mit der semantischen Äquivalenz  E zusammen. Beweis: e 1  E e 2, also speziell T ,E (X) |= e 1 = e 2.  b*(e 1 ) = b*( e 2 ) für alle T ,E (X)-Belegungen b, auch für  ' mit  '(x)=[x]  E. Hom. Forts. von  ' ist die natürliche Abb.  = nat(  E ) Homomorphiesatz! Also  (e 1 ) =  (e 2 ) bzw. [e 1 ]  E = [e 2 ]  E  e 1  E e 2.

14 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 7 / 14 Fortsetzungssatz: Es sei E ein  -Gleichungssystem über X, und A eine ( ,E)-Algebra. Dann existiert zu jeder A -Belegung h von X genau ein Homomorphismus h # von T ,E (X) in A, für den h # ([x]  E ) = h(x) für alle x  X gilt. Beweis: T ,E (X) h # h* T  (X) A  h X nat(  E ) Man überlege sich den variablenfreien Spezialfall T ,E = T    E = T ,E (  )


Herunterladen ppt "Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 7 / 1 Kapitel 7 Gleichungskalkül Gruppe ist eine Algebra G = [G ; , inv,"

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen