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Didaktik der Geometrie (10) Vorlesung im Sommersemester 2004 Prof. Dr. Kristina Reiss Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Universität Augsburg.

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1 Didaktik der Geometrie (10) Vorlesung im Sommersemester 2004 Prof. Dr. Kristina Reiss Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Universität Augsburg

2 Themenbereich: Die Satzgruppe des Pythagoras

3 Lehrplan Realschule Kl. 9 M 9.8 Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck (ca. 15 Std.) Die Schüler finden und begründen Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck und erschließen damit die Möglichkeit, Streckenlängen in ebenen Figuren, in Körpern und im Koordinatensystem zu berechnen. Auch hier entwickeln die Schüler ihre Fertigkeit weiter, geometrische Probleme algebraisch zu bearbeiten und funktionale Abhängigkeiten zu untersuchen. Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck (aus der Geschichte: Euklid, Pythagoras) Berechnen von Streckenlängen (auch im Koordinatensystem und in Körpern): u. a. Länge der Diagonalen des Rechtecks und des Quadrats, Höhe des gleichseitigen Dreiecks, Betrag des Vektors

4 Lehrplanentwurf Gymnasium Kl. 9

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7 Pythagoras von Samos (6. Jh. v. Chr.) Pythagoras wurde vermutlich um 580 v. Chr. in Samos geboren. Nach mehreren Reisen ließ er sich um 530 v. Chr. in Kroton (Italien) nieder und gründete einen religiösen Bund. Dabei wurde das Bemühen um Weisheit als ein Weg zur moralischen Erhebung betrachtet. Im Studium von Mathematik, Astronomie, Musik, Medizin sahen die Pythagoreer Mittel, um Körper und Seele zu reinigen und sich der Gottheit zu nähern. Pythagoras wurde von seinen Schülern als übermenschliches Wesen betrachtet, das zwischen Göttern und Menschen vermittelt. Nach neue- rer Forschung wird sein Bezug zur Mathematik angezweifelt. Vielmehr gilt er als Magier oder Schamane, der allerdings die Schule der Pythago- reer begründet hat, die sich wiederum mit mathematischen Problemen beschäftigt hat. Pythagoras starb vermutlich um die Wende zum 5. Jahr- hundert v. Chr., wurde also relativ alt (Alberto Jori, Mailand). Der nach Pythagoras benannte Satz des Pythagoras war schon weit vor ihm in der babylonischen Mathematik bekannt. Quelle: Volpi, F. (Hrsg.) (1999). Großes Werklexikon der Philosophie (Band 2, S. 1241ff.). Stuttgart: Kröner:

8 Die Quelle:  /Mathematicians /Pythagoras.html Pythagoras of Samos Born: about 569 BC in Samos, Ionia Died: about 475 BC Andere Quellen sind mutiger:

9 Zur Satzgruppe des Pythagoras gehören der Kathetensatz, der Höhensatz, der Satz des Pythagoras.

10 Mögliche Problemstellungen Verwandle ein Rechteck in ein flächengleiches Quadrat. So bekommt man den Kathetensatz. Gegeben sind zwei Quadrate, die nicht notwendig gleicher Größe sind. Man finde ein Quadrat, dessen Flächeninhalt die Summe der beiden Flächeninhalte ist. So bekommt man den Satz des Pythagoras.

11 Es gibt eine Unmenge schöner LINKS zur Satzgruppe des Pythagoras im Internet. Hier sind (völlig unvollständig, fast willkürlich, nicht in allen Fällen richtig geprüft) Beispiele: pythago/pythago/pythago.html Pythago/Pythagoras.html spur.htm

12 Der Kathetensatz In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich zum Rechteck, dessen eine Seite die Hypotenuse und dessen andere Seite der zu dieser Kathete gehörende Hypotenusenabschnitt ist. Seien also a und b die Katheten und c die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, sei p der zu a gehörende Hypotenusenabschnitt und q der zu b gehörende Hypotenusenabschnitt. Dann gilt: a 2 = pc und b 2 = qc.

13 Der Kathetensatz Beweis nach Fegert: Basis ist die Ergänzungsgleichheit zweier Figuren. Beweis nach Baravelle: Basis ist eine Folge geeigneter Translationen und Scherungen (bzw. die Betrachtung der Flächengleichheit geeigneter Rechtecke, Parallelogramme, Quadrate). Beweis nach Euklid: Basis ist eine Folge von Scherungen (bzw. die Betrachtung der Flächengleichheit geeigneter Dreiecke).

14 Der Höhensatz In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe der Hypotenuse flächengleich zum Rechteck, dessen Seiten die beiden Hypotenusenabschnitte sind. Seien also a und b die Katheten und c die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, seien p und q die Hypotenusenabschnitte und h die Höhe über der Hypotenuse. Dann gilt: h 2 = pq.

15 Der Höhensatz Beweis über Ergänzungsgleichheit: Basis ist die Betrachtung eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten q+p und h+q. Man zerlegt es einerseits in ein Quadrat mit Seitenlänge h und zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten h und p bzw. h und q. Man zerlegt es andererseits in ein Rechteck mit den Seitenlängen p und q und zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten h und p bzw. h und q.

16 Der Höhensatz Beweis über Flächengleichheit: Basis ist die Hintereinanderausführung von drei Scherungen (bzw. die Betrachtung der Flächengleichheit des Höhenquadrats mit geeigneten Parallelogrammen und schließlich dem entsprechenden Rechteck).

17 Der Satz des Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse flächengleich zur Summe der Quadrate über den beiden Katheten. Seien also a und b die Katheten und c die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Dann gilt: c 2 = a 2 + b 2.

18 Der Satz des Pythagoras Beweis nach Pythagoras(?): Basis ist die Ergänzungsgleichheit. Man zerlegt dazu ein Quadrat mit der Seitenlänge a+b in geeigneter Weise auf zwei verschiedene Arten. Beweis nach Nairizi: Basis ist eine geeignete Verschiebung von zwei rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c, die als Teile eines Quadrats mit Seitenlänge c genommen werden.

19 Der Satz des Pythagoras Beweis nach Bhaskara: Basis ist auch hier eine geeignete Zerlegung eines Quadrats mit Seitenlänge c. Beweis unter Nutzung der Ähnlichkeit (findet sich schon bei Fibonacci) Durch die Höhe über der Hypotenuse wird ein rechtwinkliges Dreieck in zwei zu ihm ähnliche Dreiecke zerlegt.

20 Anwendungsbereiche Berechnung von Strecken, Betrachtung von Flächen.

21 Anwendungsbereiche Diagonale im Quadrat, Höhe im gleichseitigen Dreieck, Raumdiagonale im Quader und Würfel, Entfernung zweier Punkte im Koordinatensystem, geometrisches Wurzelziehen, Quadratur des Rechtecks.

22 Pythagorasbaum Barth, Barth., Krumbacher & Ossiander ( ), S. 112.

23 Beurteilung von Beweisen Barth, Barth., Krumbacher & Ossiander ( ), S. 114.

24 Literatur Mitschka, A. (1982). Didaktik der Geometrie in der Sekundarstufe. Freiburg: Herder. Barth, E., Barth, F., Krumbacher, G. & Ossiander, K. ( ). Anschauliche Geometrie 9. München: Ehrenwirth.


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