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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 1 Zusammenfassung 1. Vorlesung (15.4.) Kolmogorov-Axiome Mathematische Definition von Wahrscheinlichkeit (damit.

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1 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 1 Zusammenfassung 1. Vorlesung (15.4.) Kolmogorov-Axiome Mathematische Definition von Wahrscheinlichkeit (damit ist aber noch keine Bedeutung/Interpretation von W. impliziert) Menge S von “Ereignissen” (Stichprobenraum) Jeder Untermenge A von S wird eine reelle Zahl P(A) zugewiesen P(A) = Wahrscheinlichkeit von A so dass gilt 1.für jede Untermenge A von S ist P(A)  0 2.P(S) = 1 3.für disjunkte Untermengen A und B (d.h. für A  B=Ø) ist P(A  B) = P(A) + P(B)

2 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 2 Statistische Unabhängigkeit A und B heißen statistisch unabhängig (oder unkorreliert) genau dann wenn P(A  B) = P(A)P(B) Das bedeutet, dass die Zugehörigkeit eines Ereignisses zu A nichts aussagt darüber, ob es auch zu B gehört oder nicht Bedingte Wahrscheinlichkeit Zusammenfassung 1. Vorlesung (15.4.) Wahrscheinlichkeit für A wenn B gegeben ist: Bayes-Theorem:

3 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 3 Häufigkeits-Interpretation von Wahrscheinlichkeit: relative Häufigkeit eines Ergebnisses einer Messung (Ereignis) im Grenzwert unendlich vieler Wiederholungen dieser Messung Dies ist die Interpretation von Wahrscheinlichkeit - in der Quantenmechanik - in der statistischen Mechanik Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A (k = Anzahl der Ereignisse k in n Messungen) Zusammenfassung 1. Vorlesung (15.4.) Alternative Interpretation: subjektive Wahrscheinlichkeit “Bayes-Statistik” (Aussage über den wahren Wert selbst, benötigt a-priori-Wahrscheinlichkeit)

4 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 4 Diskrete Zufallsvariable: Wahrscheinlichkeit x i zu erhalten: P(x i ) =: f i Kontinuierliche Zufallsvariable: Wahrscheinlichkeit eine Messung im Intervall [x+dx] zu erhalten P([x+dx]) =: f(x) dx f(x) = Wahrscheinlichkeitsdichte mit Kumulative Verteilungsfunktion: gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Messergebnis kleiner als x ist. (probability density function, p.d.f.) Zusammenfassung 1. Vorlesung (15.4.)

5 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 5 Quantil: Median: (50%-Wert) Wahrscheinlichster Wert (most probable value): Maximum vom f(x) Mittelwert (mean value): diskrete Verteilung: Zusammenfassung 1. Vorlesung (15.4.)

6 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 6 Erwartungswert einer Funktion a(x): Für a(x) = x erhält man den Mittelwert Die Erwartungswerte von Potenzen von x heißen Momente einer p.d.f. Algebraische Momente: Zentrale Momente: Breite einer Verteilung: Varianz: Standardabweichung: (gleiche Einheit wie x,  ) Zusammenfassung 1. Vorlesung (15.4.)


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