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Martin Burger Institut für Numerische und Angewandte Mathematik CeNoS Mathematische Beschreibungen des menschlichen Lebens.

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Präsentation zum Thema: "Martin Burger Institut für Numerische und Angewandte Mathematik CeNoS Mathematische Beschreibungen des menschlichen Lebens."—  Präsentation transkript:

1 Martin Burger Institut für Numerische und Angewandte Mathematik CeNoS Mathematische Beschreibungen des menschlichen Lebens

2 Martin Burger Mathematik + Mensch Warum Mathematik + Mensch ? Im 19. und frühen 20. Jahrhundert passierten enorme Fortschritte im Verständnis der Physik (Naturwissenschaft) – durch verstärkte Mathematisierung Im 20. und frühen 21. Jahrhundert passiert technischer Fortschritt und wachsender Lebensstandard - durch mathematische Modellierung und Simulation Im 21. Jahrhundert stellt sich die nächste Herausforderung - Mathematische Beschreibungen menschlichen Lebens

3 Martin Burger Mathematik + Mensch Menschliches Leben auf allen Skalen Mathematische Probleme stellen sich auf allen Skalen: - Molekulare / Subzellulare Prozesse - Physiologie / Zellulare Prozesse - Zellbewegung und -populationen - Prozesse auf Organebene - Untersuchungen auf Ganzkörperebene - Prozesse mit grosser Anzahl von Menschen(massen) "Mathematics compares the most diverse phenomena and discovers the secret analogies that unite them." Jean Baptiste Joseph Fourier

4 Martin Burger Mathematik + Mensch Beispiele aus meiner Forschung - Simulation von Ionenkanälen - Simulation von Zellbewegung - Molekulare Bildgebung - Bildgebung auf grösseren Skalen - Simulation sozio-ökonomischer Prozesse "Mathematics creates our standard of living." Bob Eisenberg " Sozialkompetenz ist auch in der Mathematik eine ganz wichtige Eigenschaft." Wolfgang Lück (FOCUS, Jan 08)

5 Martin Burger Mathematik + Mensch Mathematical Christoph Brune Marzena Franek Alex Sawatzky Frank Wübbeling Thomas Kösters Christina Stöcker Claudia Giesbert Astrid Heitmann Mary Wolfram (Linz) Martin Benning Thomas Grosser

6 Martin Burger Mathematik + Mensch Diplomanden 07/08 Tanja Mues Katharina Daniel Anna Weisweiler Melanie Schröter Bärbel Schlake Jahn Müller Martin Benning Steffi Sillekens Oleg Reichmann Arvind Sarin Tobias Neugebauer Matthias Tillmann Jan Pietschmann Jan Hegemann Michael Möller (Cambridge) (UCLA) (UCLA)

7 Martin Burger Mathematik + Mensch Bildrekonstruktion und inverse Probleme Inverse Probleme bestehen in der Rekonstruktion einer Ursache aus einer beobachteten Wirkung (über ein mathematisches Modell, das sie in Beziehung setzt) Prototyp inverser Probleme: Medizinische Diagnose Nicht-invasive Verfahren in der Medizin basieren immer auf indirekter Beobachtung "The grand thing is to be able to reason backwards." Arthur Conan Doyle (A study in scarlet)

8 Martin Burger Mathematik + Mensch Molekulare Bildgebung: PET Bildgebung auf molekularer Ebene, funktional und quantitativ Beispiel Positron-Emission-Tomography Externe Messung basierend auf radioaktiven Zerfallsdaten Zerfallsevents zufällig, aber Rate proportional zur Dichte

9 Martin Burger Mathematik + Mensch EM-Algorithmus Stochastische Modellierung des Problems, Messungen aus Poisson-Modell Bild u ist Dichtefunktion des Tracers Linearer Operator K entspricht Radon-Transformation Eventuell zu korrigierende Störungen / Messfehler b Johann Radon

10 Martin Burger Mathematik + Mensch EM-Algorithmus Rekonstruktion als maximum-likelihood Schätzer Modellierung der a-posteriori Wahrscheinlichkeit nach Bayes

11 Martin Burger Mathematik + Mensch EM-Algorithmus als Fixpunktiteration Kontinuierlicher Grenzwert für grosse Anzahl von Events (Stirling-Formel) Optimalitätsbedingung führt auf Fixpunktgleichung

12 Martin Burger Mathematik + Mensch PET Rekonstruktion Rekonstruktion bei guter Statistik (Kleintier PET) Thomas Kösters Frank Wübbeling

13 Martin Burger Mathematik + Mensch EM-Algorithmus an der Grenze Schlechtere Statistik = weniger Radioaktivität / schneller zerfallende Isotope Für Patienten verträglich/ für gewisse Untersuchungen besser Alex Sawatzky Thomas Kösters ~ Events ~600 Events

14 Martin Burger Mathematik + Mensch Vom Bild zum Cartoon Wie können wir auch im Fall schlechter Daten vernünftige Rekonstruktionen erhalten ? Anforderungen müssen adaptiert werden Suche Methode, die nicht alle detaillierten Muster zu rekonstruieren versucht, sondern sich auf die wesentliche Struktur konzentriert: Cartoon-Rekonstruktion

15 Martin Burger Mathematik + Mensch Das Auge des Betrachters Was sind vernünftig rekonstruierte Strukturen ? Hauptanforderung: müssen für den (menschlichen) Betrachter sinnvolle Rückschlüsse zulassen Übersetze Augenfunktion und Psyche in Mathematik Scharfe Objektkanten sind viel wichtiger als Texturen Morel et al, From Gestalt Theory to Image Analysis, Springer 2007 Haddad-Meyer, UCLA CAM Report 2004

16 Martin Burger Mathematik + Mensch Das Auge des Betrachters Was sind vernünftig rekonstruierte Strukturen ? Was nimmt unser Auge /Hirn wahr ?

17 Martin Burger Mathematik + Mensch Das Auge des Betrachters Lokale Änderungen von Texturen ändern wenig

18 Martin Burger Mathematik + Mensch Das Auge des Betrachters Zusätzliche Strukturen ändern viel !

19 Martin Burger Mathematik + Mensch TV-Methoden Bestrafung der totalen Variation Formal Exakt ROF-Modell zum Entrauschen von g : minimiere totale Variation unter Nebenbedingung Rudin-Osher-Fatemi 89,92

20 Martin Burger Mathematik + Mensch Warum TV-Methoden ? Deswegen ! Linearer Filter TV-Methode

21 Martin Burger Mathematik + Mensch TV-Methoden und Bayes Es existiert ein Lagrange Parameter, sodass ROF äquivalent ist zu Erster Term aus log-likelihood für Gauss-Verteilung, zweiter als a-priori Wahrscheinlichkeit ! p ( u ) » exp ( ¡ J ( u )) p ( g j u ) » exp ( ¡ ¸ 2 Z ( u ¡ g ) 2 d x )

22 Martin Burger Mathematik + Mensch TV-Methoden und Geometrie Verbindung zu Längen/Oberflächenminimierung durch coarea- Formel Erster Term zerfällt in Volumsintegrale mit Gewichtung u-g Lösung isoperimetrischer Probleme auf Level Sets ! Stan Osher

23 Martin Burger Mathematik + Mensch TV-Methoden und Geometrie Optimalitätsbedingung Duale Variable p hat geometrische Bedeutung q ist verallgemeinertes Normalenvektorfeld an Level Sets p ist mittlere Krümmung ¸ ( u ¡ g ) + p = 0 ; p J ( u ) p = d i vq ; k q k 1 · 1

24 Martin Burger Mathematik + Mensch TV-Methoden Analysis und Numerik von TV-Minimierung ist schwierig: - nichtdifferenzierbar - nicht strikt konvex - degenerierter Differentialoperator - keine starke Konvergenz - unstetige Lösungen - potentiell grosse Datenmengen (3D / 4D Imaging)

25 Martin Burger Mathematik + Mensch TV-Methoden Fehlerabschätzungen brauchen eigenes Distanzmaß: Verallgemeinerte Bregman-distance mb-Osher 04 p muss bei Diskretisierung richtig behandelt werden (primal- duale Methoden) mb 08 DFG-Projekt Regularisierung mit Singulären Energien,

26 Martin Burger Mathematik + Mensch Effiziente Löser Parallele Methoden basierend auf Gebietszerlegung – Minimierung auf Teilgebieten mit passender Randkopplung Jahn Müller

27 Martin Burger Mathematik + Mensch Allgemeinere Probleme Durch Anpassung des Datenfit-Terms (Bayes) Gauss‘sche Entzerrung statt Gauss‘scher Entrauschung (Verzerrung modelliert durch linearen Integraloperator K ) → Poisson-Modell mit TV-Prior:

28 Martin Burger Mathematik + Mensch Konstruktion numerischer Verfahren Geeignete numerische Lösung durch 2-Schritt Verfahren Klassischer EM-Teil im ersten Schritt TV-Minimierung im zweiten Schritt

29 Martin Burger Mathematik + Mensch ~600 Events Alex Sawatzky Thomas Kösters EM EM-TV

30 Martin Burger Mathematik + Mensch EM-TV Rekonstruktion aus simulierten Daten Bild Daten EM EM-TV

31 Martin Burger Mathematik + Mensch Quantitative Verfahren Verbleibendes Problem: systematischer Fehler der TV- Methode Variation wird zu stark reduziert, quantitative Werte können vor allem bei kleinen Strukturen stark abweichen Probleme bei quantitativen Verfahren, z.B. Auswertung von physiologischen Parametern basierend auf PET-Rekonstruktionen Projekt PM 6 im SFB 656 (mb/Klaus Schäfers)

32 Martin Burger Mathematik + Mensch Rekonstruktion physiologischer Parameter Myokardiales Blutfluss-Modell in jedem Pixel. Vereinfachtes Modell: Bestimmung der Perfusion F und des arteriellen Blutfluss C A aus Bildintensität u berechnet aus C T Nichtlineares inverses Problem Martin C T ( x ; t ) t = F ( x )( C A ( t ) ¡ C T ( x ; t ) V D )

33 Martin Burger Mathematik + Mensch Quantitative Verfahren Kontrastkorrektur durch iterative Regularisierung Die prior probability zentriert bei null Anpassung: sei das Minimum des Poisson-TV Modells Iterativer Algorithmus, EM-TV kann für jeden Schritt verwendet werden mb-Osher-Goldfarb-Xu-Yin 05, mb-Gilboa-Osher-Xu 06 p ( u ) » exp ( ¡ J ( u )) ^ u 1 p ( u ) » exp ( ¡ [ J ( u ) + J ( ^ u 1 ) + h ^ p 1 ; u ¡ ^ u 1 i])

34 Martin Burger Mathematik + Mensch Nanoskopie – STED & 4Pi Analoge Probleme in der optischen Nanoskopie: Stimulated Emission Depletion (Stefan Hell, MPI Göttingen) BMBF Projekt „INVERS“, Göttingen(MPI+Univ)-Münster-Bochum-Bremen, Leica

35 Martin Burger Mathematik + Mensch Nanoskopie – STED & 4Pi Ähnliches Modell der Bildformation, K ist Faltungsoperator Verwendet u.a. zum Studium menschlicher Zellen

36 Martin Burger Mathematik + Mensch Nano-Dekan Simulierte Bildformation → Christoph Brune

37 Martin Burger Mathematik + Mensch Dekan-Cartoon Iterierte EM-TV Rekonstruktion Christoph Brune

38 Martin Burger Mathematik + Mensch Nanoskopie an der Grenze: Syntaxin PC12, 53nm Christoph Brune

39 Martin Burger Mathematik + Mensch D Zellstruktur Christoph Brune

40 Martin Burger Mathematik + Mensch Mathematische Modelle: Kollektives Verhalten Mathematische Modelle lassen sich für verschiedenste Aspekte des menschlichen Lebens herleiten, zB - Transport durch Ionenkanäle - Zellbewegung und –aggregation (Chemotaxis) - Verhalten von Menschenmengen bei Evakuierung - Verhalten von Händlern auf Finanzmärkten - ….

41 Martin Burger Mathematik + Mensch Individuelle Modelle Mikroskopische Modelle (individual based) für den Zustand einzelner Teilchen (Position, Impuls) oder Menschen (Position, Meinung, …) können in Form stochastischer Differential-gleichungen gewonnen werden Interaktion der Teilchen Berechnung der Interaktionskräfte aus weiteren Gleichungen d X N j = F N j ( X N ) d t ¡ rV ( X N j ) d t + ¾ N j ( X N ) d W j t F N j ( X N ) d t = X k6 = j H N ( X N j ; X N k )

42 Martin Burger Mathematik + Mensch Ionenkanäle Transport durch Zellmembrane passiert durch Ionenkanäle Ionenkanäle sind Proteine mit einem Loch in der Mitte Proteine erzeugen effektive Ladung im Kanal Bob Eisenberg Chemical Bonds are lines Surface is Electrical Potential Red is positive Blue is negative Chemist’s Vie w All Atoms View

43 Martin Burger Mathematik + Mensch Ionenkanäle Zustand ist Position der einzelnen Ionen im Kanal und umliegenden Flüssigkeiten Interaktion über elektrische (Coulomb) und chemische Kräfte Externe Kräfte von Proteinen, analoge elektrische und chemische Kräfte

44 Martin Burger Mathematik + Mensch Fussgängersimulation Beschrieben durch Newton‘sche Bewegungsgleichungen mit starker Dämpfung (hin zur typischen Gehgeschwindigkeit) „Soziale Kräfte“ (Helbing 93): - Bevorzugte Geschwindigkeitsrichtung (zB zum Ausgang) - Externe abstossende Potentiale (Wände, Hindernisse) - Lokal abstossende Kraft zu anderen Fussgängern

45 Martin Burger Mathematik + Mensch Fussgängersimulation Simulation der Entleerung eines Raumes mit zwei Türen und einem Hindernis Bärbel Schlake

46 Martin Burger Mathematik + Mensch Finanzmärkte und Meinungsbildung Händlerverhalten nach ähnlichem Muster - Externe Potentiale: Wirtschaftsdaten, DAX, Zinsniveau,... - Interaktion: Anpassung an / Abgrenzung von Konkurrenz Bsp: Preisbildung, Volatilitätsmodelle, Einschätzungen des Wirtschaftsklimas, Verteilung von Wohlstand … Lux et al, Helbing et al, Toscani et al, Lasry-Lions, Bianchi-Capasso- Morale, … Daniela Morale Vincenzo Capasso

47 Martin Burger Mathematik + Mensch PDE-Modelle Im Grenzwert einer grossen Anzahl von Inviduen Herleitung von Kontinuumsmodellen mit asymptotischen Methoden Liouville (2Nd+1 Dimensionen)  BBGKY-Hierarchie (2kd+1 Dimensionen)  Boltzmann/Vlasov Gleichungen (2d+1)  Mean-Field Fokker-Planck Gleichungen (d+1) Ludwig Boltzmann

48 Martin Burger Mathematik + Mensch Finanzmärkte und Meinungsbildung Analoge Modelle auch aus diskreten Sprungmodellen (random walks). Anwendung auf Finanzmarktdaten, Parameterschätzung Lux et al 05,07 Random Walk / Markov Prozess  [Mastergleichung (hochdimensional)]  Mastergleichung (niedrigdimensional)  Fokker-Planck Gleichung Katharina Daniel

49 Martin Burger Mathematik + Mensch Nichtlineare Fokker-Planck Gleichungen Kanonische Form der Fokker-Planck Gleichung wobei für eine Entropie / Energie E Degenerierte nichtlineare Diffusion, wenn D nicht strikt positiv ist und Peter Markowich E 0 ( ½ ) = f ( ½ ) + n i c h t l o k a l er T e i l ¹ = E 0 ( ½ t ½ = r ¢ ( D ( ½ ) r ¹ )

50 Martin Burger Mathematik + Mensch Nichtlineare Fokker-Planck Gleichungen Allgemeine Formulierung als metrischer Gradientenfluss Benötigen dafür Riemann‘sche Mannigfaltigkeit Metrik definiert über optimalen Transport Otto, Brenier, DeGiorgi t ½ = r M E ( ½ ) d ( ½ 0 ; ½ 1 ) 2 : = i n f ½ ; V Z 1 0 Z D ( ½ )j V j 2 d x d s ½ ( 0 ) = ½ 0 ; ½ ( 1 ) = ½ s ½ = r ¢ ( D ( ½ ) V )

51 Martin Burger Mathematik + Mensch Nichtlineare Fokker-Planck Gleichungen Mathematische Herausforderungen: - Struktur der Metrik / Mannigfaltigkeit / Geodäten - Geodätische Konvexität der Entropie / Energie Verstanden für D=1 (H - 1 Norm) und D=  (Wasserstein Metrik) Allgemeinerer Fall und Systeme (noch) offen Jan Pietschmann

52 Martin Burger Mathematik + Mensch Optimaler Transport Weitere Arbeitsgebiete: - Robuste numerische Verfahren basierend auf opt. Transport - Anwendungen, Modellierung, Mikro-Makro Übergang Mary Wolfram Jose Carrillo

53 Martin Burger Mathematik + Mensch Optimaler Transport Weitere Arbeitsgebiete: - Inverse Probleme: Bestimmung von unbekannten Termen aus Daten, zB Interaktionspotentiale, Ionenkanalstruktur - Optimales Design, zB Topologieoptimierung von Fluchtwegen - Optimaler Transport in (teilweise) unbekannter Umgebung Heinz Engl Marzena Franek Richard Tsai


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