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IT-Kompaktkurs: Wirtschaftsmathematik (Folge 9) Lineare Algebra (2) Matrizen und Vektoren Prof. Dr. Walter Kiel Fachhochschule Ansbach.

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1 IT-Kompaktkurs: Wirtschaftsmathematik (Folge 9) Lineare Algebra (2) Matrizen und Vektoren Prof. Dr. Walter Kiel Fachhochschule Ansbach

2 Matrix

3 Umsatz-Matrix

4 Bezeichnungen für Matrizen A A mn (a ij ) (a ij ) mn

5 Vektoren Spaltenvektor Zeilenvektor

6 Nullmatrix

7 Einheitsmatrix

8 Symmetrische Matrix

9 Transposition

10 Gleichheit von Matrizen bei typgleichen Matrizen: a ij = b ij für alle i und j Beispiel:A = B

11 Größer-Gleich-Relation bei typgleichen Matrizen a ij  b ij für alle i und j Beispiel:A  B

12 Ungleichheit bei typgleichen Matrizen Beispiel:A  B

13 Addition/Subtraktion typgleiche Matrizen a ij  b ij = c ij für alle i und j A  B = C Beispiel:

14 Gesetze zu Addition/Subtraktion von Matrizen A+B=B+A (Kommutativgesetz) A-B=-B+A (Kommutativgesetz) (A+B)+C=A+(B+C) (Assoziativgesetz) (A+B)'=A'+B' (Transposition) A±N=A (Nullmatrix) Monotoniegesetze: Aus A=B folgt A±C=B±C Aus A  B folgt A±C  B±C

15 Multiplikation Matrix mit Skalar c  a ij = b ij für alle i und j c  A = B Beispiel:

16 Gesetze zu Multiplikation Skalar mit Matrix c  A = A  c (Kommutativgesetz) c 1  c 2  A=c 1  (c 2  A) (Assoziativgesetz) c  (A±B)=c  A ± c  B (1. Distributivgesetz) (c 1 ±c 2 )  A=c 1  A±c 2  A (2. Distributivgesetz)

17 Multiplikation zwischen Matrizen: Verkettete Matrizen A mn  B np = C mp

18 Matrix-Multiplikation mit dem Falkschen Schema x2+2x1 1x(-1)+2x4 1x5+2x x2+3x1 0x(-1)+3x4 0x5+3x A 22  B 23 = C 23

19 Gesetze zur Multiplikation zwischen Matrizen A(BC)= (AB) C (Assoziativgesetz) A(B+C)=AB+AC (Distributivgesetz) (A+B)C=AC+BC k(A  B)=(kA)B=A(kB) aber: (i.A.): A  B  B  A (keine Kommutativität) AB + CA  A(B+C) und: Aus A  B = A  C folgt nicht: B = C

20 Matrix-Multiplikation Ökonomische Anwendung Beispiel: Zwei Produktionsstufen

21 LGS als Matrix-Gleichung a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 : : a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n A nn x n1 = b n1

22 Auflösung Matrix-Gleichung Gewöhnliches Rechnen ax = b a -1 * a x = a -1 * b x = a -1 * b Lineare Algebra mit Matrizen-Gleichung -Inverse suchen, für die gilt: A -1 * A = E -Auflösung: Ax = b A -1 * A x = A -1 * b E  x = A -1 * b x = A -1 * b

23 Matrix-Inversion: Ausgangsmatrix A (hier 2x2) wird um die passende Einheitsmatrix erweitert zu (A|E)

24 Matrix-Inversion: Zeilen-Transformationen 1.Vertauschen zweier Zeilen 2.Multiplikation aller Elemente einer Zeile mit einer reellen Zahl ungleich Null 3.Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile  Von links her Einheitsvektoren erzeugen mit dem Ziel: (E|A -1 )

25 Matrix-Inversion Beispiel: Ausgangsmatrix A wird erweitert zu (A|E)

26 Matrix-Inversion Beispiel: Zeilenoperationen 0,5xZ2 + Z1

27 Matrix-Inversion Beispiel: Zeilenoperationen Z1 - 3 x Z2

28 Matrix-Inversion Beispiel: Inverse isolieren

29 Matrix-Inversion Beispiel: Probe A -1  A = E A -1  A = E


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