Prof. Dr. Walter Kiel Fachhochschule Ansbach

Präsentation zum Thema: "Prof. Dr. Walter Kiel Fachhochschule Ansbach"—  Präsentation transkript:

1 Prof. Dr. Walter Kiel Fachhochschule Ansbach
IT-Kompaktkurs: Wirtschaftsmathematik (Folge 9) Lineare Algebra (2) Matrizen und Vektoren Prof. Dr. Walter Kiel Fachhochschule Ansbach

2 Matrix

3 Umsatz-Matrix

4 Bezeichnungen für Matrizen
A Amn (aij) (aij)mn

5 Vektoren Spaltenvektor Zeilenvektor

6 Nullmatrix

7 Einheitsmatrix

8 Symmetrische Matrix

9 Transposition

10 Gleichheit von Matrizen
bei typgleichen Matrizen: aij = bij für alle i und j Beispiel: A = B

11 Größer-Gleich-Relation bei typgleichen Matrizen
aij  bij für alle i und j Beispiel: A  B

12 Ungleichheit bei typgleichen Matrizen
Beispiel: A  B

13 Addition/Subtraktion typgleiche Matrizen
aij  bij = cij für alle i und j A  B = C Beispiel:

14 Gesetze zu Addition/Subtraktion von Matrizen
A+B=B+A (Kommutativgesetz) A-B=-B+A (Kommutativgesetz) (A+B)+C=A+(B+C) (Assoziativgesetz) (A+B)'=A'+B' (Transposition) A±N=A (Nullmatrix) Monotoniegesetze: Aus A=B folgt A±C=B±C Aus AB folgt A±CB±C

15 Multiplikation Matrix mit Skalar
c  aij = bij für alle i und j c  A = B Beispiel:

16 Gesetze zu Multiplikation Skalar mit Matrix
c  A = A  c (Kommutativgesetz) c1c2A=c1(c2  A) (Assoziativgesetz) c(A±B)=cA ± cB (1. Distributivgesetz) (c1±c2)A=c1A±c2A (2. Distributivgesetz)

17 Multiplikation zwischen Matrizen: Verkettete Matrizen
Amn  Bnp = Cmp

18 Matrix-Multiplikation mit dem Falkschen Schema
A22  B23 = C23 3 2 1x2+2x1 1x(-1)+2x4 1x5+2x0 0x2+3x1 0x(-1)+3x4 0x5+3x0

19 Gesetze zur Multiplikation zwischen Matrizen
A(BC)= (AB) C (Assoziativgesetz) A(B+C)=AB+AC (Distributivgesetz) (A+B)C=AC+BC k(AB)=(kA)B=A(kB) aber: (i.A.): ABBA (keine Kommutativität) AB + CA  A(B+C) und: Aus A  B = A  C folgt nicht: B = C

20 Matrix-Multiplikation Ökonomische Anwendung
Beispiel: Zwei Produktionsstufen

21 LGS als Matrix-Gleichung
a11 x1 + a12 x a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x a2n xn = b2 : : : : an1 x1 + an2 x ann xn = bn Ann xn1 = bn1

22 Auflösung Matrix-Gleichung
Gewöhnliches Rechnen ax = b a-1 * a x = a-1 * b x = a-1 * b Lineare Algebra mit Matrizen-Gleichung Inverse suchen, für die gilt: A-1 * A = E Auflösung: Ax = b A-1 * A x = A-1 * b E  x = A-1 * b x = A-1 * b

23 Matrix-Inversion: Ausgangsmatrix
A (hier 2x2) wird um die passende Einheitsmatrix erweitert zu (A|E)

24 Matrix-Inversion: Zeilen-Transformationen
Vertauschen zweier Zeilen Multiplikation aller Elemente einer Zeile mit einer reellen Zahl ungleich Null Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile Von links her Einheitsvektoren erzeugen mit dem Ziel: (E|A-1)

25 Matrix-Inversion Beispiel: Ausgangsmatrix
A wird erweitert zu (A|E)

26 Matrix-Inversion Beispiel: Zeilenoperationen
0,5xZ2 + Z1

27 Matrix-Inversion Beispiel: Zeilenoperationen
Z1 - 3 x Z2

28 Matrix-Inversion Beispiel: Inverse isolieren

29 Matrix-Inversion Beispiel: Probe A-1  A = E