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Wiederholung (Kap. 2: Beschreibende Statistik) 2.4.2 Median Eine gegebene Liste von n Messwerten sei der Größe nach angeordnet: X = { x1  x2  ….  xn.

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1 Wiederholung (Kap. 2: Beschreibende Statistik) Median Eine gegebene Liste von n Messwerten sei der Größe nach angeordnet: X = { x1  x2  ….  xn } Der Median ist der (evtl. gemittelte) Wert “in der Listen-Mitte” x_med = x k mit k = [n/2] +1 falls n ungerade = (x k + x k+1 )/2 mit k = n/2 falls n gerade Bsp a: Bsp b: X = { } X = { } x_med = 3.5 x_med = 3 Hier: Links und rechts von 3.5 liegen …hier liegen auch links und rechts genau so viele Werte, der “3 in der Listen-Mitte” genau so viele Werte, die kleiner bzw. größer sind aber die Werte können auch gleich 3 sein!!! Bemerkung: Die Werte können auch rein ordinal sein: Bsp c: (Schmetterlinge) Werte (Insekten-Stadien) Anzahlen Gesamtzahl: n = 29, k = [n/2]+1 = 15, x_med = Larve 1, denn x 15 hat den Wert: “Larve 1” Für eine reele Zahl z bezeichnet die “Gauss-Klammer” k = [z] die kleinste ganze Zahl k  z. Beispiel: [3.75] = 3 EiLarve 1Larve 2PuppeAdult

2 Schwalbenpositionen X = [ ] q = 1 Blaue Punkte: Position y = y(t) einer zusätzlichen Schwalbe während ihrer dynamischen Gradienten-Suche nach der Minimum- Position = „Mitte“ Grüne Kurve: SUM 1 (y)

3 Schwalbenpositionen X = [ ] q = 2 SUM = Summe der quadratischen Abstände von einem Punkt y zu den (roten) Positionen y Blaue Punkte: Position y = y(t) einer zusätzlichen Schwalbe während ihrer dynamischen Gradienten-Suche nach der Minimum- Position = „Mitte“ Grüne Kurve: SUM 2 (y)

4 Neue Form der beschreibenden Darstellung von Daten Kumulatives Häufigkeitsdiagramm Bsp: X = [ ] Der Median ist x_med = 2.5 (rot) Die empirische (kumulative) Verteilungsfunktion ist die Kumulative Häufigkeit auf 1 normiert: F(x) = KH(x) / n Diese bezeichnet die relative Häufigkeit von Daten mit Werten  x Beispiel: F(5) = 0.83 = 5/6 dh.: Unterhalb von 5 (magenta) liegen 5/6 aller Werte !

5 Haufigkeitsdiagramme der Ausflugweiten von Schmetterlingen

6 P-Quantile der Datenreihe X = { } ¼ - ¾ Interquantil P = [ ] (blue) P = Quantil Linie bei (1 + P*(n-1)) / n (magenta)

7 Boxplot erstellt von 15 Datenwerten X1, Xn, welche um den Mittelwert m = 11.2 (schwarz) herum streuen mit Standardabweichung S = 3.67 [m – S, m + S] (schwarzer Balken) Der Median ist x_med = 10.0 (rot) P = 0.20 – Quantil x P = 8.1 (magenta) Dh. die unteren 20 % der Werte liegen im Bereich bis 8.1

8 Erststimmen -Daten

9 Unimodale Verteilung der Körperlängen in der Lachszucht (Canadische Küste) Bimodale Verteilung der Körperlängen nach Auswanderung (kleinere in Flüssen, größere in der Meeresbucht)

10 Entsprechende Kumulative Verteilungsfunktionen: Unimodal (blau) und Bimodal (rot)


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