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Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Der Weg und das Ziel Algorithmische Zusammenhänge finden zwischen einer Funktion und ihrer.

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Präsentation zum Thema: "Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Der Weg und das Ziel Algorithmische Zusammenhänge finden zwischen einer Funktion und ihrer."—  Präsentation transkript:

1 Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Der Weg und das Ziel Algorithmische Zusammenhänge finden zwischen einer Funktion und ihrer Steigungs- (Änderungs-) funktion

2 Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Der Weg : Regel entdecken, Vermutung aufstellen, beweisen und einfacher rechnen! beweisen und einfacher rechnen!

3 Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Zu einer Funktion f(x) die Funktion f‘(x) zu finden, welche die Änderungsrate beschreibt. Wenn wir also zum Beispiel die Funktion eines Weges s(t) in der Zeit t kennen, Das Ziel wie lautet dann die Funktion der zeitlichen Änderung des Weges, also die Geschwindigkeit v(t) ?

4 Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Worum geht es? Einordnung in den Zusammenhang Beispiele: Die Funktion beschreibtAbleitungsfunktion beschreibt beschreibt die Flughöhe in der Zeit die Steigung des Flugzeuges in der Zeit(Variometergraph) das Höhenprofil eines Radweges den Anstieg bzw. das Gefälle oder die Steigung dieses Weges s(t), der Weg eines Autos in der Zeit v(t), die Geschwindigkeit des Autos in dieser Zeit

5 Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Bestimmen der Ableitungsfunktion Steigung an jeder beliebigen Stelle x berechnen graphisches Differenzieren,graphisches Differenzieren, Graph der AbleitungsfunktionGraph der Ableitungsfunktion Steigung an einer bestimmten Stelle x 0 berechnen ( h-Methode )Steigung an einer bestimmten Stelle x 0 berechnen ( h-Methode ) bekannt: neu:

6 Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Wie sieht die Steigungsfunktion aus? Beispiel: f(x) = x 2

7 Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Deshalb schreiben wir die Regel jetzt allgemein: Für f(x) = x 2 gilt: f‘(x) = 2 x Für f(x) = x 2 gilt: f‘(x) = 2 x oder Regel Für jedes beliebige x 0 f‘(x 0 ) = 2 x 0 Für jedes beliebige x 0 aus dem Definitionsbereich haben wir gezeigt: f‘(x 0 ) = 2 x 0 f(x) = x 2 zur Ableitungsfunktion von f(x) = x 2 f‘(x) = 2  xf(x) f‘(x) = 2  x ist die Ableitungsfunktion von f(x) = x².

8 Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Wie sieht die Steigungsfunktion aus? Beispiel: f(x) = x 3 und

9 Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Deshalb schreiben wir die Regel jetzt allgemein: Für f(x) = x 3 gilt: f‘(x) = 3 x² Für f(x) = x 3 gilt: f‘(x) = 3 x² oder Regel Für jedes beliebige x 0 f‘(x 0 ) = 3 x 0 ² Für jedes beliebige x 0 aus dem Definitionsbereich haben wir gezeigt: f‘(x 0 ) = 3 x 0 ² f(x) = x 3 zur Ableitungsfunktion von f(x) = x 3 f‘(x) = 3  x²f(x) f‘(x) = 3  x² ist die Ableitungsfunktion von f(x) = x³.

10 Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Sammeln von Ableitungsfunktionen Ein kleine Quiz-Frage: Zu... f(x)gehört die Ableitungsfunktionf‘(x) x2x2 gehört die Ableitungsfunktion2x12x1 x3x3 3x23x2 x4x4 4x34x3 x7x7 7x67x6 xnxn nx n-1 Zu...

11 Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Stimmt das denn ? Zu f(x) = x n ist f‘(x) = n x n-1 die Ableitungsfunktion ? S ist die Summe aller übrigen Potenzprodukte, die ja alle mindestens h 2 enthalten.

12 Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Potenzregel Die Potenzfunktion f(x) = x n mit n  lN hat die Ableitungsfunktion f‘(x) = n x n-1.

13 Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Rückblick Ableitungsregel von f(x) = x² ist f‘(x) = 2x Weg: Vermuten, beweisen, dann Regel anwenden Potenzregel: f(x) = x n, f‘(x) = n x n-1 Einordnung (Graphisches Ableiten, Ableitungsfunktion) Beispiele: f(x) = f‘(x) = f(x) = x n+3, f‘(x) = (n+3) x n+2 f(x) = f‘(x) =

14 Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Viel Erfolg auf eurem Weg!

15 Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Aufgaben : Info: S 180 Basiswissen Basics: S 181: A S 183 A32 ; A 35 TOPs: Beweise S 182 A 26 – 28 Raben: Gegenbeweise S 183 A 37 & 38


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