I. Grundlagen der Ionenoptik

I. Grundlagen der Ionenoptik
Jürgen Struckmeier, GSI mit einigen Bildern von: Gerald Dugan, USPAS

Definition Ionenstrahl
Ionenstrahlen: gerichtete Bewegung geladener Teilchen vz >> vx, vy i. a. eine Teilchensorte (Masse, Ladung) Wechselwirkung: Elektromagnetische Wechselwirkung, Gravitation ist vernachlässigbar Strahlführung: Biegemagnete, Quadrupole, Multipole Beschleunigung: HF-Kavitäten

Analogie: Lichtstrahlen
“ebene Welle” von punktförmiger Lichtquelle unendlich weit entfernt Brennpunkt Dünne Linse: Ablenkwinkel proportional zum Abstand von der Strahlachse Astigmatismus Licht von ausge- dehnter Quelle Ein Ionenstrahl verhält sich analog

Eigenschaften Ionenstrahl
Ionenstrahl im Schwerpunktsystem betrachtet: ungeordnete Bewegung der geladenen Teilchen

Projektionen des "Phasenraums"
x' y' x y y y' Ortsraum: Blick in Strahlrichtung Geschwindig- keitsraum x x' Die belegten "Flächen" in den (x,x')- und (y,y')-Ebenen sind invariant im Falle von linearen Kräften

Prinzip der Emittanzmessung
Ein Schlitz wird in x- (y-) Richtung durch den Strahl gefahren. Die Intensitätsverteilung an den Gitterstäben wird aufgenommen

Ergebnis einer Emittanzmessung
Rohdaten einer Emittanzmessung : 3D „Gebirge“ der Strahlintensität i(x,x )

Allg. Beschleunigeranlage
Ionenquelle Linearbeschleuniger Ringbeschleuniger Schematischer Aufbau einer Beschleunigeranlage

Analytische Strahldynamik
Wir unterscheiden zwei grundlegende Fälle: Die Strahldynamik wird im wesentlichen durch die äußeren Felder bestimmt.  die Teilchen beeinflussen sich nicht. Die Strahldynamik wird durch die Eigenfelder des Strahls („Raumladung“) mitbestimmt.  kompliziertes Rückkopplungsproblem: Felder  Teilchendynamik

Lorentzgleichung Die Bewegung eines Teilchens im elektromagnetischen Feld folgt der Lorentz Gleichung: wobei p =mg v den Teilchenimpuls, m die (invariante) Masse, v die Teilchengeschwindigkeit und g den Lorentzfaktor bezeichnet: E und B ergeben sich aus den Maxwell-Gleichungen.

Koordinatensystem Ionenoptik: Beschreibung der Teilchenbewegung bezüglich einer Referenzbahn (Strahlachse, geschlossene Zentralbahn). Wir definieren an jedem Punkt der Raumkurve das „begleitende Dreibein“: Tangente: zwei Nachbarpunkte der Raumkurve Hauptnormale: Ebene durch drei Nachbarpunkte, senkrecht zur Tangente Binormale: senkrecht zu Tangente und Hauptnormale

Frenet-Serret System (Dreibein)
Referenzbahn s = Bogenlänge der Referenzbahn Das Dreibein bildet ein Orthonormalsystem in Raum

Frenet-Serret Formeln
Die Ableitungen der Vektoren des Dreibeins nach s sind: r(s) Krümmungsradius, t(s) Torsion der Bahnkurve Ableitung der Formeln: Übung

Frenet-Serret System (Forts.)
Orts- und Geschwindigkeitsvektoren:

Lorentzgleichung (Fortsetzung)
Vereinfachung für Beschleuniger (Ringe): die Referenzbahn liegt in einer Ebene  t (s) = 0. Die Komponenten der Lorentzgleichung vereinfachen zu:

Wir erhalten somit für die drei Einheitsvektoren n,b,t das folgende gekoppelte System von Differentialgleichungen:

Es ist zweckmäßig, diese Gleichungen mit der Bogenlänge s entlang der Referenzbahn als unabhängiger Variabler auszudrücken. Referenzbahn Teilchenbahn

Wir teilen nun durch v / l‘ und setzen p = m g v ein. Dies liefert das endgültige System:

Im allgemeinen: magnetische Fokussierung und Ablenkung

Häufig verwendet: „paraxiale Näherung“:

Im folgenden werden diese Gleichungen und ihre Lösungen für Quadrupole und Biegemagnete diskutiert.

Injektionssystem Heidelberg

Synchrotron Heidelberg

Beispiel 1: Quadrupol

Beispiel 1: Quadrupol (Forts.)
Mit hyperbolischen Polschuhen im Abstand R von der Strahlachse ergeben sich die magnetischen Flußdichten im Inneren des Quadrupols:

Beispiel 1: Quadrupol (Forts.)
und somit die Bahngleichungen: km liefert somit den Zusammenhang zwischen den physikalischen Parametern und der geometrischen Wirkung der Linse auf den gegebenen Strahl.

Beispiel 2: Biegemagnet

Beispiel 2: Biegemagnet (Forts.)
Im vereinfachten Modell hat ein Biegemagnet im Inneren nur ein homogenes Magnetfeld in y-Richtung:

Im vereinfachten Modell hat ein Biegemagnet im Inneren nur ein homogenes Magnetfeld in y-Richtung: und somit die Bahngleichungen: Näherungen:

Die vereinfachte Bahngleichung des Biegemagneten ist also: Zusammengefaßt mit der Quadrupolgleichung heißt dies: Die Integration dieser Gleichungen liefert die wesentlichen Aussagen über die Ringoptik.

Lösung der Bahngleichungen
Die Lösung einer linearen inhomogenen Differential-gleichung ist die Summe aus allgemeiner Lösung der homogenen Gleichung plus einer speziellen Lösung der inhomogenen: Homogene Lösung (Index b ): Betatronbewegung. Diese entsteht durch Ablage von der Referenzbahn. Inhomogene Lösung (Index D): Dispersionsbahn. Diese entsteht durch Abweichung vom Sollimpuls.

Lösung der Bahngln. (Forts.)
Die Bahngleichungen haben die allgemeine Form einer linearen, inhomogenen Gleichung zweiter Ordnung: Lineare Dgl. zweiter Ordnung  die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination zweier Fundamentallösungen. 1. Fundamentallösungen C,S der homogenen Gleichung:

C und S heißen cosinus- und sinusartige Fundamentallösungen. Sie erfüllen die Gleichungen: C und S haben die Eigenschaft:

2. Wir gehen zurück zur inhomogenen Gleichung: Mit C als Lösung der homogenen Gleichung folgt:

ebenso: Multiplikation der ersten Gleichung mit (-S) und der zweiten mit C und anschließende Subtraktion liefert: Dies ist die allgemeine Lösung der linearen, inhomogenen Gleichung zweiter Ordnung. Anwendung auf unsere Gleichung:

mit der Dispersionsfunktion Die allgemeine Lösung der Bahngleichung für die y-Richtung besteht nur aus der homogenen Lösung:

Es fehlt nun nur noch die Gleichung für die Bahnlänge. Wir hatten in der „paraxialen Näherung“ (s.o.): und somit nach Integration: Diese Ergebnisse können als Matrixgleichung zusammengefaßt werden:

Diese Matrix wird als die Transfermatrix des Systems bezeichnet. In vielen Fällen können wir uns auf Untermatrizen beschränken. So gilt für d = 0 :

Die Bahngleichungen sind ein inhomogenes System von Differentialgleichungen mit s-abhängigen Koeffizienten  nur numerisch lösbar! Vereinfachung: die Koeffizientenfunktionen werden stückweise konstant gesetzt. idealisierter Verlauf realer Feldverlauf Die Bahngleichungen können dann stückweise analytisch gelöst werden.

Für können wir die Bahngleichungen explizit integrieren:

Wir betrachten uns nun die Transfermatrizen für eine reine Driftstrecke, einen Quadrupol und einen Biegemagneten.

Reiner Sektordipol:

Reiner Quadrupol:

Driftstrecke der Länge LD  Quadrupol mit:

Dünne Linse  Quadrupol mit:

Verkettung von Transfermatrizen:

Ellipsentransformation
Ist die Transformation eines Einzelteilchens (x,x ) bekannt, so wissen wir sofort die Transformation aller Teilchen innerhalb einer Ellipse  Ellipsentransformation. Maß für die Emittanz des Strahls Strahlenveloppe a : x,x-Korrelation a = 0  Ellipse auf Hauptachsen

Ellipsentransformation (Forts.)
Zusammenhang zwischen Verlauf der Strahlenveloppe und Lage der Phasenraumellipse entlang einer Driftstrecke

Die Ellipsengleichung kann äquivalent geschrieben werden als: mit S als der Strahlmatrix: Einzelteilchentransformation durch Transfermatrix M :

Einsetzen in Ellipsengleichung: liefert: und somit schließlich:

Erhaltung der Ellipsenfläche wenn die Transfermatrizen die Determinante Eins haben: Dies ist immer der Fall in unserer linearen Näherung. Wichtig: formal gleiche Transformation für 4D und 6D Ellipsoide mit S als 4x4 bzw. 6x6 Strahlmatrix:

Theorie der starken Fokussierung
Starke Fokussierung: Strahloptik mittels Fokussierung durch Quadrupole. Lokal ist der Strahl immer instabil, Stabilität wird nur durch wechselnde Gradienten gewährleistet (alternating gradient (AG) focusing). Hierzu muß die Fokussierungsstruktur periodisch sein (Ringe! I.a. haben Synchrotrons und Speicherringe auch noch periodische Substrukturen. Sei M die Gesamttransfermatrix für eine Strukturperiode:

Starke Fokussierung (Forts.)
Frage: welche Ellipse wird durch eine Strukturperiode in sich selbst überführt? Diese Ellipse kann dann durch unendlich viele Wiederholungen dieser Strukturperiode transformiert werden. Existiert eine solche Ellipse nicht, so ist Strahltransformation über lange Strecken mit dieser Struktur nicht möglich. Bedingung für die Abbildung einer Strahlmatrix S in sich selbst:

Ausführlich heißt das: und somit als Eigenwertgleichung in Matrixform: mit I als der Einheitsmatrix und

Wir müssen also den Eigenvektor Y der Matrix A zum Eigenwert l=1 bestimmen (falls dieser Eigenwert existiert). Eigenwerte Nullstellen des charakteristischen Polynoms  l=1 ist tatsächlich ein Eigenwert für alle Matrizen M. Der zugehörige Eigenvektor folgt (nach einigen Rechnungen) als:

Die Variable c wird durch die Normierungsbedingung festgelegt  Ein reelles c – und damit eine reelle Eigenellipse – existiert nur wenn: Wir können oBdA definieren:

Hat dagegen die Transfermatrix M die Eigenschaft: so existiert keine reelle Eigenellipse  jeder Strahl, der durch diese Struktur transformiert wird, geht nach und nach verloren. Die endgültigen Parameter der Eigenellipse sind somit: Darstellung der Transfermatrix M durch die EEP:

Wir betrachten ein Einzelteilchen am Beginn der Periode auf seiner Eigenellipse: Dieses Teilchen wird nun durch eine Periode transformiert.

Am Beginn der folgenden Periode: ist die Eigenellipse identisch: liegt das Teilchen wieder auf der Eigenellipse, aber um einen Winkel verschoben.

Beweis über Parameterdarstellung der Ellipse: Transformation des Punktes :

Fläche des Ellipsensektors:  Der Punkt bewegt sich entlang der Ellipse um den Winkel s seiner Parameterdarstellung (nicht des Polarwinkels!). Daher die Bezeichnung „Phasenvorschub“ (tune). In Ringen: Qx,y = sx,y/2p: Zahl der Schwingungen pro Umlauf.

Beispiel: period. Quadrupolkanal
Angepaßter Strahl im Quadrupolkanal, s=60°

Fehlangepaßter Strahl im Quadrupolkanal, s=60°

Nichtlinearer Effekt: „Halo“-Bildung bei Fehlanpassung

Beispiel: ESR Verlauf Enveloppe und Einzelteilchen im ESR

Hillsche Differentialgleichung
Wir kehren nun zur Hillschen Differentialgleichung zurück und untersuchen ihre Lösungen für beliebiges K(s): Ihre Lösung wurde symbolisch durch das Fundamentalsystem: bezeichnet. Wir untersuchen nun die Eigenschaften von C und S. Hierzu definieren wir den Lösungsansatz: w(s) : Amplitude, y(s) : Phase. Einsetzen ergibt:

Hillsche Gleichung (Forts.)
Die allgemeine Lösung der Hillschen Gleichung ist dann: d.h., ausführlich: Damit diese Bedingung allgemein erfüllt wird, muß also gelten: Aus (b) folgt unmittelbar:

Aus (a) folgt mit dem Ergebnis für (b) die nichtlineare Dgl.: Die Transfermatrix M(s1,s0) läßt sich nun durch die Lösungen z1,2(s1,0) wie folgt ausdrücken:

Spezialfall w1=w0,w1=w0 , d.h. periodische Lösung mit Perioden- länge C: Diese Transfermatrix kann nun verglichen werden mit ihrer Darstellung durch die Eigenellipsenparameter: Wir können somit identifizieren:

Die Dgl. Für die Amplitude w(s) kann also auch durch die Ellipsenfunktion b(s) ausgedrückt werden: oder auch durch die Enveloppenfunktion X(s) : Diese Form der Beschreibung der Strahlenveloppe wird immer benötigt, wenn K(s) nicht als stückweise konstant gesetzt werden kann.  Erforderlich z.B. wenn Raumladungskräfte nicht vernachlässigbar (Hochstrom-Strahldynamik).

Statistische Enveloppengleichung
Einzelteilchen-Bewegungsgleichung: Bewegungsgleichung für Gleiche Form wie Enveloppen- gleichung für X(s) mit e! Das Quadrat der rms-Emittanz erms ist hierin definiert durch:

Statistische Enveloppengl. (Forts.)
Für die lineare Bewegungsgleichung ist erms konstant: Der Zusammenhang der Randgrößen X(s), e mit den statistischen Größen x~(s), erms ist somit: Der Faktor a hängt von der Verteilung der Punkte ab. So gilt z.B. a = 2 für eine homogene Punktdichte in der Ebene (x,x ).

Statistische Enveloppengl. (Forts.)
Homogene (links) und inhomogene (rechts) Punktdichte in den 2D-Projektionen der Phasenraumverteilung.

Teilchenbeschleunigung
Effektivste Art der Beschleunigung: Resonanzkavitäten: Die Kavität wird im Modus betrieben: longitudinales E-Feld, transversales B-Feld.

IH-Kavität Heidelberg

Teilchenbeschleunigung (Forts.)
Lösung der Maxwellgleichungen ergibt mit den erforderlichen Randbedingungen:

Wir sehen: beim Durchlauf der Teilchen durch die Kavität ändert sich das beschleunigende elektrische Feld.  Der Energiegewinn DE ist das Integral über das Feld: fs ist die Phasendifferenz des Sollteilchens zum Nulldurchgang. Mit T als Laufzeitfaktor (transit time factor) haben wir somit:

Synchronteilchen: Teilchen, welches entsprechend seiner Phasenlage so beschleunigt wird, daß es am Beginn der folgenden HF-Kavität wieder die gleiche Phase hat.  Benachbarte Teilchen schwingen longitudinal um das Sollteilchen: Synchrotronschwingung.

Prinzip der Phasenstabilität:

Teilchen „a“ betritt die Kavität „1“ früher (t ist kleiner!) als das Synchronteilchen  es erfährt geringere Beschleunigung  es betritt Kavität „2“ später  es erfährt stärkere Beschleunigung  es betritt die Kavität „3“ früher, usw. Analog: Teilchen „b“ betritt die Kavität „1“ später (t ist größer!) als das Synchronteilchen  es erfährt größere Beschleunigung  es betritt Kavität „2“ früher  es erfährt geringere Beschleunigung  es betritt die Kavität „3“ später, usw.

Synchronbedingung: Um die Existenz eines Synchronteilchens zu ermöglichen muß der Laufzeit T zwischen aufeinanderfolgenden Kavitäten einer ganzen Zahl h von Schwingungen entsprechen: D.h., für den Abstand der Kavitäten muß gelten: Da der Abstand L festliegt, muß die Frequenz wRF synchron mit bs ansteigen: Synchrotron.

Momentum compaction In Ringen ist die Bahnlänge eines Umlaufs abhängig vom Teilchenimpuls (s.o.): Integriert über den Ringumfang C heißt das: Der dimensionslose Koeffizient aC heißt momentum compaction Faktor. Er beschreibt wie dicht Bahnen mit unterschiedlichen Impulsen longitudinal „gepackt“ sind (Ringcharakteristikum !).

Slip Faktor Für die Umlaufszeit t = C / cb bedeutet das:
Die charakteristische Ringgröße hC heißt „Slip Faktor“. Sie mißt den longitudinalen „Slip“ eines Teilchens als Funktion seiner relativen Impulsabweichung. Die Energie, d.h. das gt, für das hC = 0 heißt „transition gamma“: In diesem Falle alle Teilen die gleiche Umlaufszeit, unabhängig von ihrer relativen Impulsabweichung d.

Long. Bewegungsgleichungen
Notation: Energieänderung durch eine Kavität: Die Ersetzung der Differenzengleichung durch eine Differential- gleichung gilt nur für kleine relative Energieänderungen!

Long. Bewegungsgl. (Forts.)
: Laufzeit von einer Kavität zur nächsten

Wir drücken nun die Zeitdifferenzen durch Energiedifferenzen aus: Der gekoppelte Satz von Bewegungsgleichungen ist somit:

In kontinuierlicher Beschreibung ist dies äquivalent zu:

Dieses System beschreibt die Energie-Phasen-Schwingungen der Teilchen. Hierin sind nur f und W schnell variierende Größen, alle anderen ändern sich nur langsam. Gleichung zweiter Ordnung aus den zwei Gln. erster Ordnung: Für kleine Abweichungen von der Sollphase ergibt dies:  Dgl. des harmonischen Oszillators, analog zur transv. Bew.!

Mit dieser Näherung erhalten wir wieder eine explizite Lösung: Umgeschrieben in eine Transformation für Dt,DE ergibt dies: mit bL als der longitudinalen b - Funktion Ganz analog zur transversalen Bewegung gibt es in der linearen Näherung der longitudinalen Bewegung die Invariante:

Dementsprechend heißt eL longitudinale Emittanz. Diese Größe bleibt im Verlauf der Energie-Phasen-Schwingungen der Teilen adiabatisch invariant.

Wir kehren zurück zur nichtlinearen Analyse. Die Gleichung für die Energie-Phasen-Schwingungen kann einmal analytisch integriert werden ( ): Graphische Darstellung für verschiedene Sollphasen:

longitudinaler Phasenraum
Sollphase 0 Grad: keine Beschleunigung des Sollteilchens

Sollphase 30 Grad

Sollphase 60 Grad

Sollphase 60 Grad, Teilchen außerhalb Separatrix

Transitionsenergie Gleichung für Energie-Phasenschwingungen:
Stabile Schwingung nur für , d.h. für ! Im Gegensatz zu Linearbeschleunigern kann hC in Ringen positiv sein oder im Verlauf der Beschleunigung werden:  Ist , so muß Wegen:  Teilchen mit höherer Energie haben dann eine längere Umlaufzeit: „negative Masse“ Effekt.

Numerische Simulation eines Durchgangs durch die
Transitionsenergie

Chromatizität Mit dem Begriff Chromatizität bezeichnen wir die Abhängigkeit der Fokussierung (des Tunes) vom Teilchenimpuls Br : Der Tune wird im wesentlichen durch die Quadrupole bestimmt:  Die Abweichung vom Sollimpuls (Br)0 entspricht einem Fehler im Quadrupolgradienten B – und verursacht somit eine Verschiebung DQx,y des Tunes Qx,y =2p sx,y :

Chromatizität (Forts.)
Mit Q=2p s schreiben wir die Transfermatrix für einen Umlauf als Produkt von ungestörtem Tune und einer dünnen Linse: Der Tune ist gegeben durch die halbe Spur von M, und somit:  In kontinuierlicher Näherung folgt hieraus:

Chromatizität (Forts.)
Die Chromatizität x der gegebenen periodischen Struktur ist definiert als DQ / d  Die Chromatizität, welche durch die Abhängigkeit der optischen Wirkung der Quadrupole (= Brechkraft) vom Impuls verursacht wird, heißt „natürliche Chromatizität“.

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