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Veröffentlicht von:Agata Dragan Geändert vor über 9 Jahren
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Lateinquadrate
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Nur eine Standardanordnung für k=3 ABC BCA CAB ACBBCACABCBABAC ABC CAB BCA ACBBCACABCBABAC (Anzahl der Quadrate mit Standardanordnung) x k! x (k-1)! = 12
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Lateinquadrate Standardanordnung, k=4 ABCD BADC CDBA DCAB ABCD BCDA CDAB DABC ABCD BDAC CADB DCBA ABCD BADC CDAB DCBA Jedes dieser Quadrate führt bei Festhalten der ersten Zeile auf 6 mögliche Permutationen der Zeilen 2 - 4. Zusammen mit den 24 Permutationen der ersten Zeile ergibt dies 144 mögliche Quadrate. Insgesamt : 4x24x6 = 576 Quadrate
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Orthogonale Lateinquadrate k=3 ABC BCA CAB ABC CAB BCA Legt man die Quadrate übereinander, so taucht jede Kombination von Behandlungen gleich oft auf, z.B. hier AA, AB, BA, AC, CA … je einmal. Wenn k eine Primzahl oder eine Potenz einer Primzahl ist lassen sich orthogonale Lateinquadrate konstruieren.
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Konstruktion orthogonaler Lateinquadrate k=5 ABCDE BCDEA CDEAB DEABC EABCD ABCDE CDEAB EABCD BCDEA DEABC
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Konstruktion, k=5 ABCDE DEABC BCDEA EABCD CDEAB ABCDE EABCD DEABC CDEAB BCDEA Bei Übereinanderlegen von zwei Quadraten kommt in den k 2 Feldern jeweils ein Paar AA, BB, CC, DD, EE, sowie jeweils eines der k(k-1) Paare AB, BA, AC, CA, … vor. Die Konstruktion funktioniert für jede mögliche erste Zeile.
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Williams-Quadrate ABCD CADB DCBA BDAC k=4 In den Zeilen folgt jede Behandlung unmittelbar auf jede andere genau einmal, AB, BA, AC, CA, …. Ausgewogenheit bezüglich einfacher Nachwirkungseffekte
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Williams-Quadrate, k gerade Erste Zeile i 1 (1), …, i k (1) Permutation von 0, …, k-1 Z.B.: 0, 1, k-1, 2, k-2, 3, k-3, …, k/2 k=6: 0, 1, 5, 2, 4, 3 1 4 3 2 5 Bedingung: (i j (1) -i j-1 (1) )|mod k, j=2,…,k: Permutation von 0, …, k-1 Algorithmus zur Konstruktion: i j (r+1) =i j (r) +1|mod k
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Williams-Quadrate (Einschub) Erste Zeile nicht eindeutig i j (1) → „Prime to k“ x i j (1) |mod k z.B. k=6: Multiplizieren mit 2 0, 1, 5, 2, 4, 3 0, 2, 4, 4, 2, 0 auch nicht mit 3! mit 5 0, 5, 1, 4, 2, 3 Andere Anfangszeile 0, 2, 1, 4, 5, 3
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Konstruktion eines Williams-Quadrats k=6 0A0A 1B1B 5F5F 2C2C 4E4E 3D3D 120354 231405 342510 453021 504132 +1|mod 6 1 4 3 2 5
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Williams-Quadrate, k ungerade Zwei Quadrate zu Block zusammenfassen Z.B.: k=3 012 120 201 210 021 102 1 2 Allgemein: Quadrat 1, 1.Z.: 0,1,k-1,2,k-2,…,(k-1)/2,(k+1)/2 Quadrat 2, 1.Z.: (k+1)/2,(k-1)/2,…,k-2,2,k-1,1,0 Algorithmus: i j (r+1) =i j (r) +1|mod k
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Modell für ein LQ Y ijk = μ + ρ i + π j + τ k + ε ijk “Row”: Proband “Column”: Periode Behandlung Zufallsfehler
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Ausgewogene unvollständige Blöcke t Behandlungen b Blöcke (z.B. Patienten) k (<t) Behandlungen pro Block Jede Behandlung einmal pro Block r Wiederholungen jeder Behandlung insgesamt λ mal jedes Behandlungspaar in den Blöcken N=rt=bk λ(t-1)=r(k-1) b≥t
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Ausgewogene unvollständige Blöcke AB BA AC CA BC CB Blöcke (Patienten) t=3 b=6 k=2 r=4 λ=2 N=12
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Modell Y ij = μ + τ j + β j + ε ij Messung, wenn im Block j die Behandlung i angewandt wurde Behandlung Block (Proband) Zufallsfehler
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Blöcke mit Behandlungswiederholungen (individuelle Bioäquivalenz) RTRT TRTR TRTR RTRT Abschätzung der Variabilität innerhalb der Blöcke zwischen verschiedenen Anwendungen der gleichen Behandlung oder bei Wechsel der Behandlungen. Behandlungen R :Referenz T: Test Blöcke z.B. Probanden
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Modell Enthält Variabilität innerhalb der Probanden getrennt nach Behandlung Varianzkomponente für die Wechselwirkung Proband x Behandlung (Variabilität durch Wechseln der Behandlungen, “Switchability”)
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