Höhere Mathematik für Informatiker I Permutationen und die symmetrische Gruppe 5. November 2002 Frank Vallentin TU München.

Präsentation zum Thema: "Höhere Mathematik für Informatiker I Permutationen und die symmetrische Gruppe 5. November 2002 Frank Vallentin TU München."—  Präsentation transkript:

1 Höhere Mathematik für Informatiker I Permutationen und die symmetrische Gruppe 5. November 2002 Frank Vallentin TU München

2 Permutationgruppe mit 3 Elementen

3 Geometrische Bedeutung 1 23 Spiegelung an Höhe durch 1 Spiegelung an Höhe durch 2 Spiegelung an Höhe durch 3 Drehung um 120 Grad Drehung um 240 Grad Tu nix

4 Permutationsgruppe mit n Elementen Wir verallgemeinern: Die symmetrische Gruppe.... n Möglichkeiten n-1 Möglichkeiten n-2 Möglichkeiten 2 Mögl. 1 Mögl. = n!

5 Zyklen 13576

6 Transpositionen Transpositionen sind die einfachsten Elemente (nach der Identität), aber jede Permutation kann man aus Transpositionen zusammensetzen.

7 Permutationen und Transpositionen I 1234512345 5312453124 (23) (34) (12) (23) (34) (45) Vorsicht! Darstellung nicht eindeutig!

8 Permutationen und Transpositionen II Beweis des Satzes. Durch Angabe eines Algorithmus: Eingabe: Permutation Ausgabe: Zerlegung in Transpositionen 1.Stelle die Permutation als Hintereinanderausführung von paarweise elementfremden Zyklen dar. 2.Stelle jeden Zyklus als Hintereinanderausführung von Transposition dar. 3.Stelle jede Transposition als Hintereinanderausführung von Transpositionen der Form (i i+1) dar.

9 Permutationen und Transpositionen III Stelle Permutation als Produkt von paarweise elementfremden Zyklen dar Stelle jeden Zyklus als Produkt von Transposition dar Stelle jede Transposition als Produkt von Transpositionen der Form (i i+1) dar

10 Signum einer Permutation Mögliches Problem: Ist die Parität (gerade/ungerade) von m unabhängig von der Darstellung?