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Veröffentlicht von:Vinzenz Gentes Geändert vor über 9 Jahren
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16. Zweidimensionale quadratische Formen
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Wenn zwischen U T = (u, v) und X T = (x, y) der folgende Zusammenhang besteht X = D U wobei D eine umkehrbare 2 2-Matrix sein soll, so ergibt diese Transformation q = X T A X = U T D T A D U = U T C U Durch orthogonale Koordinatentransformation mit Hilfe der zweidimensionalen Drehmatrix D =D = geht die Matrix A der quadratischen Form in die Matrix über C = D T A D mit |C| = |D T | |A| |D| = |A| Sie verändert ihren Charakter dadurch nicht, denn es wird lediglich das Koordinatensystem gedreht.
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Durch orthogonale Koordinatentransformation kann jede quadratische Form vereinfacht werden. Jede symmetrische Matrix A lässt sich mit Hilfe einer Drehmatrix D auf die Diagonalform C (mit c 12 = c 21 = 0) bringen. Jede quadratische Form lässt sich also in der reduzierten Form schreiben q = c 11 u 2 + c 22 v 2 (Wenn der Rang der Matrix A kleiner als zwei ist, so enthält die Summe weniger als zwei Summanden.)
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1 = x 2 + 4xy + y 2
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Übungen 16.1 Beweisen Sie anhand der folgenden Gleichung: Bei der Drehung einer symmetrischen 2 2-Matrix bleibt die Spur erhalten 16.2 1 = 5x 2 + 3xy + 7y 2. Finden Sie die Diagonalmatrix C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage. 16.3 5 = 3x 2 - 2xy + y 2. Finden Sie die Diagonalmatrix C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage. 16.4 1 = x 2 + 2xy + y 2. Finden Sie die Diagonalmatrix C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage.
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1 = 5x 2 + 3xy + 7y 2 A = =
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= 0 = 2sin cos + 3cos 2 – 3/2 3/2 - 3cos 2 = 2sin cos 9/4 - 9cos 2 + 9cos 4 = 4sin 2 cos 2 9/4 - 9cos 2 + 9cos 4 = 4(1 - cos 2 )cos 2
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= 0 = 2sin cos + 3cos 2 – 3/2 3/2 - 3cos 2 = 2sin cos 9/4 - 9cos 2 + 9cos 4 = 4sin 2 cos 2 9/4 - 9cos 2 + 9cos 4 = 4(1 - cos 2 )cos 2 9/4 - 13cos 2 + 13cos 4 = 0 z 2 – z + 9/52 = 0 cos 2 = z cos
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= arccos ++ +- -+ -- cos = 0,8817 0,4719 - 0,8817 -0,4719 = 28,15° 61,85° 151,8° 118,15°
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= arccos ++ +- -+ -- cos = 0,8817 0,4719 - 0,8817 -0,4719 = 28,15° 61,85° 151,8° 118,15° = -28,15° +61,85° +151,8° -118,15° x y u v c 11 =4,197 7,803 4,197 7,803 c 22 =7,803 4,197 7,803 4,197 a = 1/ c 11 =0,488b = 1/ c 22 =0,358 a b X = D U
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x y u v a b 1 = 5x 2 + 3xy + 7y 2 A =C = Spur(A) = 12 = c 11 + c 22 = Spur(C) |A| = 35 – 9/4 = c 11 c 22 = |C| |A| = 1 |A| 1 = |D T | |A| |D| = |D T A D| = |C| c 11 + c 22 = 12 c 11 c 22 = 32,75 c 11 + 32,75/c 11 = 12 c 2 11 - 12 c 11 + 32,75 = 0 = 7,803 oder 4,197
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1 = x 2 + 2xy + y 2 A = =
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0 = 1 - 2sin 2 oder sin 2 = cos 2 sin = 1/ 2 = 45° oder = 135° Wahl: 45° cos =1/ 2 = sin
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0 = 1 - 2sin 2 oder sin 2 = cos 2 sin = 1/ 2 = 45° oder = 135° Wahl: 45° cos =1/ 2 = sin c 11 = 2c 22 = 0 1 = 2u 2 u = 1/ 2 v u
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1 = x 2 + 2xy + y 2 A = c 11 + c 22 = 2 c 11 c 22 = 0 c 11 = 0 oder c 22 = 0 1 = (x + y) 2 y = -x 1 u v x y u v
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5 = 3x 2 - 2xy + y 2 A = =
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= 0 = -2sin cos + sin 2 - cos 2 2sin cos = 1 - 2cos 2 4sin 2 cos 2 = 1 - 4cos 2 + 4cos 4 4(1 - cos 2 )cos 2 = 1 - 4cos 2 + 4cos 4 8cos 4 - 8cos 2 + 1 = 0
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= 0 = -2sin cos + sin 2 - cos 2 2sin cos = 1 - 2cos 2 4sin 2 cos 2 = 1 - 4cos 2 + 4cos 4 4(1 - cos 2 )cos 2 = 1 - 4cos 2 + 4cos 4 8cos 4 - 8cos 2 + 1 = 0 z 2 – z + 1/8 = 0 cos
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= arccos ++ +- cos = 0,923 0,382 = 22,5° 67,5° = -22,5° +67,5°
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= arccos ++ +- cos = 0,923 0,382 = 22,5° 67,5° = -22,5° +67,5° c 11 + c 22 = 4 c 11 c 22 = 2 c 11 + 2/c 11 = 4 c 2 11 - 4 c 11 + 2 = 0 = 3,41 oder 0,59 A =
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