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TUTORIUM STATISTIK II 1 Philipp Schäpers Mi. 10.15 – 11.45 R. 025 Übung IV 09.05.2012 Inferenzstatistik.

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1 TUTORIUM STATISTIK II 1 Philipp Schäpers Mi – R. 025 Übung IV Inferenzstatistik

2 Organisatorisches 2   Sprechstunde Herr Gediga  Nach Vereinbarung per E- Mail  Folien im Learnweb ! Jede Frage ist eine gute Frage!

3 Aufgaben Aufgabe 1Aufgabe 2 Aufgabe 3 3

4 Aufgabe 1 4 Sie haben eine Untersuchung mit einer (Zufalls-)Stichprobe vom Umfang n = 29 Personen im Alter über 65 durchgeführt. Sie interessieren sich für die Gedächtnisleistungen der Personen in einem entsprechenden Test. Auf Basis der Ergebnisse vieler Untersuchungen mit diesem Test an Stichproben aus dem gleichen Altersbereich wissen Sie, dass die Annahme einer Normalverteilung in der Grundgesamtheit gerechtfertigt ist. Sie haben für die vorliegende Stichprobe einen Mittelwert von MW = 31 und eine Varianz von s^2 = berechnet.

5 Aufgabe 1 5

6 Konfidenzintervall 6

7 Konfidenzintervall 7  Der zu schätzende unbekannte Parameter liegt dabei fest  Für zwei verschiedene Stichproben aus der gleichen Population ergeben sich i.d.R. unterschiedliche Konfidenzintervalle „Die Grundidee dabei besteht darin, nicht eine einzige Zahl als Schätzung für den Parameter anzugeben sondern einen ganzen Wertebereich, in dem der Parameter mit einer hohen Wahrscheinlichkeit liegt“

8 Konfidenzintervall 8

9 Konfidenzintervall 9

10 Konfidenzintervall 10  Man unterscheidet zwischen ein- und zweiseitigen Konfidenzintervallen: Zweiseitiges Konfidenzintervall „Alkoholkonsum verändert die Reaktionszeit im Straßenverkehr (die Reaktionszeit könnte sich verschlechtern oder aber auch verbessern) Einseitiges Konfindenzintervall „Alkoholkonsum verschlechtert die Reaktionszeit im Straßenverkehr“

11 Konfidenzintervall 11

12 Konfidenzintervall 12  Die Länge eines Konfidenzintervalls für einen bestimmten Schätzer hängt von zwei Größen ab  der Sicherheitswahrscheinlichkeit  dem Standardfehler der Stichprobenverteilung Je höher die Irrtumswahrscheinlichkeit, umso schmaler das Konfidenzintervall.

13 Aufgabe 1 13

14 Aufgabe 1 14

15 Aufgabe 1 15

16 Aufgabe 1 16  Untere Grenze:  Obere Grenze -> Unpräzise Varianzschätzung

17 Aufgabe 1 17 c) Welche Möglichkeiten sehen Sie, die Fehlerspanne bei Teilaufgabe b) zu verringern ?

18 Aufgabe 1 18  Erneute Untersuchung bei der man aber mit dem Ergebnis aus a) für die Fehlerspanne unzufrieden ist.  Man möchte eine präzisere Schätzung vornehmen und fragt sich wie viele Personen untersucht werden müssen, wenn

19 Aufgabe 1 19

20 Aufgabe 1 20 Stichprobenumfang bei gegebener Fehlerspanne m

21 Aufgabe 2 21  An einer großen Universität wird eine Zufallsstichprobe von Studenten befragt, um den Anteil derjenigen Studenten zu bestimmen, die ein eigenes Auto besitzen

22 Aufgabe 2 22  a) Bestimmen Sie unter der Annahme, dass 66% der Studenten in der Stichprobe ein eigenes Auto besitzen, je ein.95-Kondenzintervall für eine Stichprobengröße von 50, 100 und 400 Studenten

23 Aufgabe 2 23  a) Bestimmen Sie unter der Annahme, dass 66% der Studenten in der Stichprobe ein eigenes Auto besitzen, je ein.95-Kondenzintervall für eine Stichprobengröße von 50, 100 und 400 Studenten  Mögliche Ausprägung der Variable „Eigenes Auto“ [Y] ?  Hat ein Auto (Erfolg)  Hat kein Auto (Misserfolg) Bernoulli Variable

24 Aufgabe 2 24 p = Erfolgswahrscheinlichkeit (Besitz eines Autos) q= Gegenwahrscheinlichkeit

25 Aufgabe 2 25 nUntere GrenzeObere Grenze

26 Aufgabe 2 26  b) Erklären Sie, warum die berechneten Konfidenzintervalle unterschiedlich groß ausfallen

27 Aufgabe 2 27

28 Aufgabe 2 28  c) Bestimmen Sie zusätzlich ein.95- Kondenzintervall unter der Annahme, dass 81% ein Auto besitzen und die Stichprobengröße 50 beträgt.

29 Aufgabe 2 29 p = 0.81 n = 50

30 Aufgabe 3 30  Nach einer Verhaltenstherapie ist bei 35 von 100 Schülern eine deutliche Reduktion der Prüfungsangst zu verzeichnen. Berechnen Sie das einseitige Konfidenzintervall, um den Anspruch der Therapeuten zu überprüfen, bei mindestens einem Drittel der Schüler eine deutliche Reduktion der Prüfungsangst zu erzielen. Berechnen Sie zusätzlich das zweiseitige Konfidenzintervall.

31 Aufgabe 3 31  Nutzen Sie jeweils die klassischen Konfidenzbänder auf der Basis der Varianzschätzung.

32 Aufgabe 3 32  Nach welchem Konfidenzintervall ist gesucht ?  Es ist nach einem Konfidenzintervall für p gesucht Einseitiges Konfidenzintervall

33 Aufgabe 3 33

34 Aufgabe 3 34

35 Aufgabe 3 35  Für das zweiseitige Intervall ergeben sich also folgende Grenzen [.257,.4435]. Dieses Intervall überdeckt also mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95 Prozent den Parameter p.  Die Hypothese des Therapeuten, bei mindestens einem Drittel der Schüler eine deutliche Reduktion der Prüfungsangst erzielt zu haben, kann also in beiden Fällen nicht bestätigt werden.

36 MC 36

37 MC 37

38 MC 38

39 MC 39

40 MC 40

41 MC 41

42 MC 42  Durch den zentralen Grenzwertsatz ist gewährleistet, dass auch bei unbekannter Varianz und Verteilung die Standardnormalverteilung zur Bestimmung der Grenzen eines Konfidenzintervalls verwendet werden kann, wenn n > 20 ist  Bei der Bestimmung eines Konfidenzintervalls für den Erwartungswert bei bekannter Varianz und festem n hängt die Größe des Intervalls nicht von den Eigenschaften der Daten ab.

43 MC 43

44 44

45 MC 45  Die Grenzen eines Konfidenzintervalls für die Varianz werden mit Hilfe der t-Verteilung bestimmt  Bei der Bestimmung eines Konfidenzintervalls für die Varianz müssen die Zufallsvariablen Y 1,…..,Y n nicht normalverteilt sein.

46 46 Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit! Bis zur nächsten Woche...


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