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10. Schwingungen Schwingungen sind allgemein Vorgänge, die sich wiederholen. Man spricht auch oft von periodischen Vorgängen. Beispiele: Vibrationen, Pendelschwingung,...

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Präsentation zum Thema: "10. Schwingungen Schwingungen sind allgemein Vorgänge, die sich wiederholen. Man spricht auch oft von periodischen Vorgängen. Beispiele: Vibrationen, Pendelschwingung,..."—  Präsentation transkript:

1 10. Schwingungen Schwingungen sind allgemein Vorgänge, die sich wiederholen. Man spricht auch oft von periodischen Vorgängen. Beispiele: Vibrationen, Pendelschwingung, Harmonische Schwingungen Versuch:

2 10. Schwingungen Begriffe: (T) Schwingungsdauer = Periode = Zeit zwischen zwei gleichen Schwingungszuständen. (Wenn der schwingende Körper den Bahnpunkt wieder in gleicher Richtung durchläuft.) 1 Periode (T) (y 0 ) Amplitude = größte Auslenkung y0y0 (y) Elongation = momentane Auslenkung ( diese ist von der Zeit abhängig) y (T) (f) Frequenz = Anzahl der Schwingungen / Zeit [f] = 1 Hertz 1 Hz= 1 s -1

3 10. Schwingungen Schwingung des Federpendels: Beispiele für harmonische Schwingungen: Wir vergleichen die Projektion einer Kreisbewegung mit der Schwingung eines Federpendels. Federpendel: F y = – k·y - weil F, y antiparallel Kreisbewegung u. deren Projektion F y = – mω 2 r·cosωtr = y 0 F y = – m ω 2 y 0 cosωt k y F y = – ky 0 ·cosωt φ = ωt

4 10. Schwingungen FyFy F F y = – mω 2 r·cosωt φ = ωt

5 10. Schwingungen vyvy v v y = –ωy 0 ·sinωt

6 10. Schwingungen Elongation:y(t) = y 0.cosωt Schwingungsdauer: ω = 2π/T ; k = mω 2 ; ω 2 = k/m Geschwindigkeit der Elongation:v y (t) = - y 0 ·ω·sinωt Beschleunigung: hat die Richtung der Kraft, ist also y entgegengesetzt. a y (t) = - y 0 ·ω 2 ·cosωt

7 10. Schwingungen Das Fadenpendel (mathemat. Pendel) Bei sehr kleiner Auslenkung ist s ≈ x. Das heißt, die Kraft ist proportional der Auslenkung wie beim Federpendel. Das Hooksche Gesetz ist erfüllt. Aus der Formel für die Schwingungsdauer des Federpendels wird: Schwingungsdauer des Fadenpendels.

8 10. Schwingungen Schülerversuche zu Feder- und Fadenpendel

9 10. Schwingungen Federpendel Aufbau:

10 10. Schwingungen Federpendel Aufgabe: –Miss die Federkonstante Δl Miss den Abstand vom Tisch bis zum Gewichtsteller Lege 50 g auf den Gewichtsteller und miss wieder den Abstand Berechne die Differenz Δl = cm =..... m F = 0,05·9,81N

11 10. Schwingungen Federpendel Aufgabe: –Miss die Schwingungsdauer von 10 Schwingungen Zieh dazu die Feder um ca. 7 cm nach unten und las sie los. Beginne bei der Zählung mit 0. Dividiere durch 10

12 10. Schwingungen Versuch 2: Wir versetzen diese Anordnung in Schwingung und messen die Zeitdauer für 10 Schwingungen: 10·T =..... s Schwingungsdauer T =..... s Vergleiche dieses Ergebnis mit der Formel

13 10. Schwingungen Fadenpendel Bestimme die Schwingungsdauer des Fadenpendels –Bei unterschiedlicher Amplitude –Unterschiedlicher Masse –Unterschiedlicher Fadenlänge Aufbau

14 10. Schwingungen Schwingungsdauer beim Fadenpendel: Fertige eine Skizze an! Versuch 1: Pendellänge l = 0,6m; Auslenkung ca. 5cm; 2 Schlitzgewichte (2·50 g + 10 g) 10·T =..... s Schwingungsdauer T =..... s Versuch 2: wie Versuch 1 jedoch Auslenkung ca. 10cm 10·T =..... s Schwingungsdauer T =..... s Erkenntnis: Die Schwingungsdauer ist von der Amplitude..... Versuch 3: Pendellänge l = 0,6m ; 4 Schlitzgewichte (4·50g + 10g) (Beachte den Schwerpunkt !!) 10·T =..... s Schwingungsdauer T =..... s Erkenntnis: Die Schwingungsdauer ist von der Masse.....

15 10. Schwingungen Versuch 4: Pendellänge l = 0,3m 10·T =..... s T =..... s Versuch 5: Pendellänge l = 1,2m 10·T =..... s T =..... s Erkenntnis: Bei vierfacher Pendellänge ist die Schwingungsdauer... Vergleiche mit der Formel: Zusatz: Ermittle aus der Schwingungsdauer des Fadenpendels die Erdbeschleunigung!

16 10. Schwingungen Harmonische Schwingungen sind Schwingungen, deren Weg- Zeit-Diagramm eine Sinus- oder Kosinusfunktion darstellen. Bei ihnen gibt es keinen Zusammenhang zwischen Amplitude und Schwingungsdauer. Beispiele: Federpendel, Fadenpendel, Stimmgabel, Blattfeder,... nicht: schwingende Saite.

17 10. Schwingungen 10.2 Energie des harmonischen Oszillators. 1 Die Energie wächst mit dem Quadrat der Amplitude und mit dem Quadrat der Frequenz.

18 10. Schwingungen 10.3 Überlagerung von Schwingungen Die Phasenkonstante Loslassen nach Auslenkung. φ = 0 y = y 0 sin(ωt) Anstoßen in Ruhelage:

19 10. Schwingungen Auslenken und Anstoßen: Die Phasenkonstante gibt die anfängliche Auslenkung durch einen Winkel an. Unterscheiden sich zwei Schwingungen in ihrer Phasenkonstante, so spricht man vom Phasenunterschied Δφ = φ 1 - φ 2

20 10. Schwingungen Addition von Schwingungen Addition kollinearer Schwingungen gleicher Frequenz Versuch: Zwei gleiche Stimmgabeln werden angestoßen. Mit Mikrophon und Oszillograph veranschaulichen. Ergebnis: Manchmal wird der Ton lauter, manchmal leiser. Mathematische Beschreibung: 1. Schwingung: y 1 = y 01 sin(ωt) 2. Schwingung: y 2 = y 02 sin(ωt + φ) φ... Phasenverschiebung

21 10. Schwingungen Sonderfälle: a) φ = 0 Gleichphasigkeit: y = y 1 + y 2 = (y 01 + y 02 ).sin(ωt) Konstruktive Interferenz Die resultierende Schwingung besitzt die größtmögliche Amplitude

22 10. Schwingungen b) φ = π y = y 1 + y 2 = y 01 ·sin(t) + y 02 ·sin(ωt+π) = y 01 ·sin(ω t) - y 02 ·sin(ωt) = (y 01 - y 02 )·sin(ω t) Die resultierende Schwingung besitzt kleinstmögliche Amplitude. bei y 01 = y 02 ist die resultierende Amplitude 0. Destruktive Interferenz.

23 10. Schwingungen Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz und gleicher Schwingungsrichtung ergibt stets wieder eine harmonische Schwingung, deren Amplitude von den Amplituden der Einzelschwingungen und von ihrer Phasendifferenz abhängt.

24 10. Schwingungen Lissajoussche Figuren Sie entstehen, wenn zwei aufeinander normal stehende Schwingungen mit rationalem Frequenzverhältnis überlagert werden. Zwei Blattfedern, auf denen sich je ein Spiegel befindet werden normal zueinander befestigt und mit einem Laser angeleuchtet. Das reflektierte Signal wird an die Wand projiziert. Versuch:

25 10. Schwingungen Mathematische Beschreibung: x - Schwingung: x = x 0 sin(ω 1 t) y - Schwingung: y = y 0 sin(ω 2 t+φ) φ... Phasenverschiebung Sonderfälle: 1. ω 1 = ω 2 = ω ; x 0 ; y 0 ; φ = 0 Gerade 2. ω 1 = ω 2 = ω ; x 0 = y 0 ; φ = π/2 x - Schwingung: x = r.sin(ωt) y - Schwingung: y = r.sin(ωt + π/2) = r.cos(ωt) → Kreis x 0 ≠ y 0 → Ellipse

26 10. Schwingungen 3. ω 1 = 2ω ω 2 = ω ; x 0 ; y 0 ; φ = 0 x - Schwingung: x = x 0 sin(2ωt) y - Schwingung: y = y 0 sin(ωt) Betrachte auch den Fall = φ = π/2 Faustformel: Berührungspunkte vertikal : Berührungspunkte horizontal = f x : f y

27 10. Schwingungen 10.4 Gedämpfte Schwingung Eine harmonische Schwingung hat eine konstante Amplitude und sollte unaufhörlich sein. Reale Schwingungen verhalten sich nicht so. Pendel wird in Schwingung versetzt. Das Weg-Zeit Diagramm wird mit dem Computer aufgezeichnet. Versuch: Die Amplitude der gedämpften Schwingung nimmt mit der Zeit ab. Die Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung ist etwas größer als bei der ungedämpften Schwingung. Vgl. B. 6RG S. 76

28 10. Schwingungen Mathematische Beschreibung: y = y 0.e -δt ·sin(ωt) δ... Dämpfungsfaktor e - δt... Dämpfungsglied

29 10. Schwingungen Gib im TI 83+ ein: Achtung MODE Radiant

30 10. Schwingungen Um die Dämpfung zu vermeiden z. B. bei Uhren verwendet man Rückkopplungseinrichtungen. Sie führen die in Reibung umgewandelte Energie wieder zu, dass die Amplitude konstant bleibt. Beispiel: Pendeluhr

31 10. Schwingungen Steigrad Anker Gewicht Pendel Pendeluhr

32 10. Schwingungen Dämpfung kann aber auch erwünscht sein: Zeiger eines Analogmessgeräts, Stoßdämpfer.

33 10. Schwingungen 10.5 Erzwungene Schwingung - Resonanz Schülerversuch: Die Spule mit 800 Windungen wird an den Funktionsgenerator angeschlossen. Einstellung: Frequenzbereich 1Hz, Sinus Erhöhe mit dem Frequenzdrehknopf (links) die Frequenz sehr sorgfältig und beobachte was passiert. Miss die Auslenkungen der Blattfeder und trage sie in Abhängigkeit von der Frequenz auf. Beachte: Interessante Ereignisse müssen sich nicht mit "ganzzahligen" Frequenzen decken.

34 10. Schwingungen Frequenz [Hz] Auslenkung in [mm] Trage die Werte in einem Diagramm auf.

35 10. Schwingungen f0f0 –2–2  klein Dämpfung: mittel groß Resonanzkurven

36 10. Schwingungen Die Amplitude der Blattfeder hängt von der Frequenz des Erregers ab. Ist die Frequenz des Erregers gleich der Eigenfrequenz der Blattfeder spricht man von Resonanz. Vgl. Abb (BW 6RG) Die Resonanzkurve ist um so höher, je geringer die Dämpfung ist. Im schlimmsten Fall (ungedämpft) → Resonanzkatastrophe. Lies Beispiele Buch Basiswissen 6 RG Seite 78. Gebäudeschwingungen, Rotierende Maschinenteile, Resonanz von Tragflügeln, Resonanzkörper, Zungenfrequenzmesser Tacoma Narrows Bridge

37 10. Schwingungen Tacoma Narrows Bridge 7. November 1940 Tacoma Narrows Bridge heute

38 10. Schwingungen Zungenfrequenzmesser


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