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Definition vs. Satz, Satzverständnis - Aspekte bei der Behandlung mathematischer Sätze- SE Ausgewählte Kapitel der Didaktik- Logische Grundlagen der Mathematik.

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Präsentation zum Thema: "Definition vs. Satz, Satzverständnis - Aspekte bei der Behandlung mathematischer Sätze- SE Ausgewählte Kapitel der Didaktik- Logische Grundlagen der Mathematik."—  Präsentation transkript:

1 Definition vs. Satz, Satzverständnis - Aspekte bei der Behandlung mathematischer Sätze- SE Ausgewählte Kapitel der Didaktik- Logische Grundlagen der Mathematik Dozent: T. Krausche Referentin: Stefanie Ahlers

2 Gliederung: 1. Unterscheidung zwischen Definitionen und Sätzen 2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen 3. Zur Rezeption mathematischer Beweise 4. Rahmenplan

3 Leitmotive Was muss bewiesen werden? + Warum muss ich das beweisen?

4 Welche der folgenden mathematischen Behauptungen muss man begründen und welche nicht? 1. In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel gleich 180°. 2. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, in dem gegenüberliegende Seiten zueinander parallel sind. 3. Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind stets gleich groß. 4. (2a+3b-4c)*5y 5. 5x-16=19 6. (a+b)²=a²+2ab+b² 7. a²=a*a 8. Wenn die Quersumme einer natürlichen Zahl durch 3 teilbar ist, so ist die Zahl selbst durch 3 teilbar.

5 1. Unterscheidung von Definitionen und Sätzen Satz: sprachliches Gebilde, das seinem Charakter nach einen Beweis erfordert

6 Welche der folgenden mathematischen Behauptungen muss man begründen und welche nicht?Lösung 1. In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel gleich 180°. 2. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, in dem gegenüberliegende Seiten zueinander parallel sind. 3. Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind stets gleich groß. 4. (2a+3b-4c)*5y 5. 5x-16=19 6. (a+b)²=a²+2ab+b² 7. a²=a*a 8. Wenn die Quersumme einer natürlichen Zahl durch 3 teilbar ist, so ist die Zahl selbst durch 3 teilbar.

7 1. Unterscheidung von Definitionen und Sätzen Num mer % der richtig en Antwo rt

8 1. Unterscheidung von Definitionen und Sätzen Nummer % der richtigen Antwort % der richtigen Antwort (Zirkel)

9 1. Unterscheidung von Definitionen und Sätzen Fazit von Walsch: 1. Thema Definitionen und Sätze muss im Unterricht gründlich besprochen werden Festigen und vertiefen mithilfe Lehrplan (Definitionen als solche bewusst machen und Beweisnotwendigkeit von Sätzen herausarbeiten) 3. Tests

10 Gliederung: 1. Unterscheidung zwischen Definitionen und Sätzen 2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen 3. Zur Rezeption mathematischer Beweise 4. Rahmenplan

11 2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen Untersuchungsziel: Wie verstehen Schüler der Mittelschule (ab 9.Klasse), Lehrerstudenten und Mathematiklehrer im Zusammenhang mit dem Beweis folgende Begriffe: den hypothetischen Charakter einer mathematischen Aussage den Sinn des Beweises als Wahrheitskriterium für mathematische Aussagen

12 2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen Aussage: Wenn ein Außenwinkel eines Dreiecks einem ihm nicht anliegenden Innenwinkel gleich ist, dann ist die Summe der Innenwinkel des Dreiecks größer als 180°. Voraussetzung: (1) ABC ist ein Dreieck mit den Innenwinkeln α, β, γ (2) δ ist der Außenwinkel der dem Innenwinkel α anliegt (3) δ = β Behauptung: α+β+γ>180° Beweis: (4) α + δ =180° (Vor. 2, Nebenwinkel) (5) α+β=180° (Vor.3,4) (6) α+β+γ>180° (Vor.1, 5)

13 2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen Fragen an die Schüler: Ist die Aussage wahr in unserer Geometrie? Ist der Beweis korrekt? Ergebnisse: JaNein? Frage 1 (Aussage) Frage 2 (Beweis)

14 2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen Einige Schüler- Aussagen: Frage 1: Ja (falsche Kenntnisse) Die Aussage ist wahr, weil in jedem stumpfwinkligen Dreieck δ = β ist, weil δ und β Außenwinkel sind, die derselben Seite AB anliegen. Die Aussage ist wahr, weil in jedem stumpfwinkligen Dreieck die Summe der Innenwinkel stets größer als 180° ist. Frage 1: Nein Die Aussage ist falsch, weil wir stets gelernt haben, dass die Innenwinkelsumme immer 180° beträgt. Der bewiesene Satz ist falsch, weil die Voraussetzung falsch angegeben wurde. Es stimmt nicht, dass δ = β. Deshalb ist auch der Beweis unkorrekt, weil man von einer falschen Voraussetzung ausgegangen ist.

15 2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen Fazit der empirischen Untersuchungen: Falsches Verständnis der Begriffe Beweis, Satz, Voraussetzung, Behauptung, Folgerung sowie Missverständnis des hypothetischen Charakter einer mathematischen Aussage (für Schüler gilt: Aussage= Behauptung) Beweis ist kein Wahrheitskriterium für SchülerInnen: S oft der Meinung, dass Satz falsch (wahr) ist, obwohl Beweis als korrekt (unkorrekt) anerkennt wurde Unterschiedliches Verständnis des Wahrheitsbegriffes einer Aussage Beispiel: Aussage ist wahr (falsch), wenn Behauptung wahr (falsch). Wenn Schüler von Wahrheit der Aussage (Behauptung) intuitiv überzeugt sind (nicht logisch), halten sie Beweis für überflüssig!

16 Gliederung: 1. Unterscheidung zwischen Definitionen und Sätzen 2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen 3. Zur Rezeption mathematischer Beweise 4. Rahmenplan

17 3. Zur Rezeption mathematischer Beweise Schwierigkeiten: Sprache der Mathematik a) beim eigentlichen Lesen des Textes Zeichenstruktur Ausdruck und Syntax Bedeutungskonzentration b) bei dessen Interpretation und den Verstehensbemühungen des Lesers Überbetonung bestimmter Lernmethode in Lerngeschichte

18 Gliederung: 1. Unterscheidung zwischen Definitionen und Sätzen 2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen 3. Zur Rezeption mathematischer Beweise 4. Rahmenplan

19 Klasse 5/6: Stufenwinkelsatz, Nebenwinkelsatz, Innenwinkelsatz für Dreiecke und Vierecke Kongruenzsätze für Dreiecke Klasse 7/8: Sätze über Scheitel-, Neben- und Stufenwinkel Satz des Thales Satz über die Winkelsumme im Dreieck Wahl 7/8: Umfangswinkelsatz und den Mittelpunktswinkelsatz Satz über die Außenwinkel im Dreieck Satz über den Inkreis- und den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks, Satz über die Winkelsumme im n-Eck.

20 4. Rahmenplan Klasse 9/10: Satz des Pythagoras Strahlensätze Satz von Vieta Sinussatz, Kosinussatz Satz von Cavalieri Wahl 9/10: Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck Kathetensatz, Höhensatz Wahlpflicht: Kreisgeometrie: Sätze vom Umfangswinkel, vom Mittelpunktswinkel und vom Sehnentangentenwinkel

21 4. Rahmenplan Sekundarstufe 2: Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung Satz von BAYES

22 Diskussion Wie kann man bei SchülerInnen Einsicht in die Notwendigkeit des Beweisens erzielen?

23 Literatur: Dörfler, W.; Fischer, R. (1978): Beweisen im Mathematikunterricht, Klagenfurt Wittmann, E.Ch.(1981): Grundlagen des Mathematikunterrichts, Braunschweig Tietze, U.-P.;Klika, M.; Wolpers, H. (Hrsg.) (2000): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Braunschweig/ Wiesbaden Walsch, W.(1975): Zum Beweisen im Mathematikunterricht, Berlin Rahmenlehrpläne der Grundschule, Sekundarstufe I und II


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