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Veröffentlicht von:Gabriele Wolterman Geändert vor über 10 Jahren
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Beschreibung der energetischen Zustände der Elektronen
Wellengleichung Ableitung der Schrödinger-Gleichung Lösungsansätze für Schrödinger-Gleichung Formale Analogie zwischen der klassischen und Quantenmechanik Lösung der Schrödinger-Gleichung für Freies Elektron Elektron im Potentialtopf Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators Potentialbarriere Doppelte Potentialbarriere Wasserstoffatom
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Die Wellengleichung Mathematische Beschreibung einer harmonischen Welle: Ableitung nach x: De Broglie-Gleichung: Ableitung nach Zeit: Plancksche Gleichung:
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Die Schrödinger-Gleichung in einer Dimension
… Potentialenergie = 0 freies Teilchen … Gesamtenergie / kinetische Energie H … Hamilton-Operator
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Dreidimensionale Schrödinger-Gleichung
Impuls und der entsprechende Operator 3D-Schrödinger-Gleichung 3D-Schrödinger-Gleichung für N Teilchen
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Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung
Mathematischer Ansatz: Separation der Variablen Linke Seite t-abhängig Rechte Seite x-abhängig
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Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung
Linke Seite: Rechte Seite: C … Separations-konstante
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Die Schrödinger-Gleichung
Zeitunabhängige (stationäre) Form harmonische Schwingungen Sie wird verwendet, wenn das Potential von der Zeit nicht abhängt E … Gesamtenergie des Systems
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Die Schrödinger-Gleichung
Zeitabhängige Form Wellengleichung
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Formale Analogie zwischen der KM und QM
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Lösung der Schrödinger-Gleichung
Falls V von der Zeit nicht abhängt, wird die zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung gelöst. Die Schrödinger-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung - Lösung erfolgt für bestimmte (Anfangs-) und Randbedingungen Die Wellenfunktion hat keine physikalische Bedeutung, * entspricht der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons Energiebereiche, für die eine Lösung der Schrödinger-Gleichung gefunden werden kann, definieren das Energie-Spektrum (Frequenzspektrum) des Systems.
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Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion
Die Schrödinger-Gleichung ist konsistent mit p = ħk und E = ħ Die Schrödinger-Gleichung ist linear Wenn 1 und 2 zwei Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind, ist auch eine lineare Kombination von 1 und 2 eine Lösung der Schrödinger-Gleichung Ein Wellenpaket stellt ebenfalls eine Lösung der Schrödinger-Gleichung dar
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Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion
Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens, Elektronendichte … in 3D Erwartungswert (Mittelwert über viele Beobachtungen)
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Hermitesche Operatoren Analogie zwischen KM und QM
Messgröße KM-Beschreibung QM-Operator Ort Impuls Kinetische Energie Drehimpuls
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Übung Analogie:
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Harmonischer Oszillator
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Harmonischer Oszillator mit Dämpfung
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Harmonische Schwingungen
A = B :
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Gedämpfte Schwingungen
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Keine Randbedingung alle Energien sind möglich
Freies Elektron (V=0) E Energiespektrum ist kontinuierlich Keine Randbedingung alle Energien sind möglich
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Elektron im Potentialtopf (1D)
∞ ∞ V V = 0 freies Elektron x a Energie-Spektrum E n 25C 5 16C 4 9C 3 4C 2 1C 1 Randbedingung Energiespektrum ist diskret
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Elektron im Potentialtopf (1D)
Lösung für die Wellenfunktion y |y|2 x/a
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Elektron im Potentialtopf (3D)
Orthogonale Lösung
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Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators
Harmonische Schwingung Gesamtenergie Potentielle und kinetische Energie
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Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators
Energie-Spektrum n 1 2 3 4 ½ ħ 3/2 ħ 5/2 ħ 7/2 ħ 9/2 ħ Energieniveaus sind voneinander equidistant entfernt, E = ħ
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Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators
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Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators
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Potentialbarriere (Tunnel-Effekt)
Keine Randbedingung I II I II
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Doppelte Potentialbarriere
II V(x) = V0 V(x) = 0 freies Elektron Energiespektrum aufgrund der Randbedingung, ähnlich wie bei der Potentialbarriere
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Tunnel-Effekt Quanten-mechanischer Effekt
Klassisch: nur yI (einfache Welle und ihre Reflexion) Anwendung Tunnel-Diode STM (Rastertunnelmikroskopie) QW („quantum wall“)
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Wasserstoffatom Sphärisch-symmetrisches Problem im Coulomb-Potential
Coulomb-Kraft Coulomb-Potential Stationäre Schrödinger-Gleichung
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Wasserstoffatom Sphärische Koordinaten Radiusabhängig Winkelabhängig
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Wasserstoffatom Winkelabhängiger Teil … Separationskonstante ℓ(ℓ+1)
Separation der Variablen; Separationskonstante m² Azimutalgleichung, () Polargleichung, () Beide Gleichungen sind im Zentralfeld vom Potential V(r) unabhängig
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Wasserstoffatom Azimutalgleichung, ()
Spezielle Lösung für () – 2-periodisch (m … ganze Zahlen) Normierung Ergebnis m … magnetische Quantenzahl
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Wasserstoffatom Polargleichung, ()
… Legendresche Differentialgleichung Verknüpft die Separationskonstanten ℓ(ℓ+1) und m² Lösung existiert nur für ℓ(ℓ+1) = 0, 2, 6, 12, 20, … (d.h. für ℓ = 0, 1, 2, 3, 4, …) ℓ … ganze Zahlen (Nebenquantenzahl, Bahndrehimpuls-Quantenzahl) Bedingung für m: … insgesamt (2ℓ+1) Werte
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Wasserstoffatom Lösung der Polargleichung, ()
für m = 0 Legendre-Polynome: für m 0 zugeordnete Legendre-Polynome:
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Wasserstoffatom Lösung der Polargleichung, (), normiert
Winkelabhängiger Teil, Yℓm(, )
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Wasserstoffatom Radialgleichung … Separationskonstante ℓ(ℓ+1)
Effektives Potential
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Analogie mit klassischer Mechanik
Rotationsenergie eines Teilchens KM QM ℓ … Bahndrehimpuls-Quantenzahl
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Wasserstoffatom Lösung gibt es nur für: mit E1=-13.6 eV
n … Hauptquantenzahl ℓ … Bahndrehimpuls-Quantenzahl m … magnetische Quantenzahl
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Termschema des Wasserstoffs
Fig. 28, Seite 69
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Wasserstoffähnliche Atome H, He+, Li++ (1 Elektron)
Spektralserien des Wasserstoffs … Lyman … Balmer … Paschen … Brackett … Pfund
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Spektralserien des Wasserstoffs
Lyman (UV): n l (nm) 2 121,5 3 102,5 4 97,2 91,2 Balmer: n l (nm) 3 656,3 4 486,2 5 434,1 364,6 Paschen (IR): n l (mm) 4 1,875 5 1,282 6 1,094 0,820
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Vergleich der Energieniveaus in verschiedenen Potentialen
Fig. 29, Seite 70 Quantum walls Gitterschwingungen (thermische Eigenschaften) Wasserstoffatom
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