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III Alogos ¥ Die transfiniten Zahlen stehen oder fallen mit den endlichen Irrationalzahlen. Georg Cantor (1845 - 1918)

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2 III Alogos ¥

3 Die transfiniten Zahlen stehen oder fallen mit den endlichen Irrationalzahlen. Georg Cantor ( )

4 Kleinstaaten (Republik oder Tyrannis) Gedankenfreiheit Seefahrendes Volk, Verbindung zwischen Asien und Europa Keine privilegierte Priesterkaste, die neue Ideen bekämpft v. Chr. Griechische Aufklärung Neuer Gedanke: Die Welt kann verstanden werden! parallel China: Konfuzius Indien: Buddha

5 Thales von Milet ( ) Höhenmessung (Pyramide): Messung der Schattenlänge, zu der Zeit, wo der Körperschatten der Körpergröße gleich ist. Alle Materie als belebt angenommen. Kenntnis von Magneteisenstein und Elektron (Bernstein) Vorhersage der Sonnenfinsternis vom

6 Pythagoras ( ) = Mund des Apollon Mutter: Parthenis (= Jungfrau) wurde vom Sonnengott Apollon geschwängert und von da ab zu dessen Ehren Pythais genannt Samos Ägypten Kreta Persien Babylon Sizilien

7 Pythagoras ( ) Eudemos Schüler des Aristoteles schrieb das erste Mathematikerverzeichnis: Pythagoras war der erste Mathematiker. Satz und Beweis! Samos Ägypten Kreta Persien Babylon Sizilien

8 Gründer einer bis 370 v. Chr. existierenden "Schule" (Geheimbund) Erkennungszeichen: Reguläres Fünfeck Grundsatz: Alles ist Zahl Pythagoras wurde nicht beim Namen genannt: "jener Mann" "Er hat es selbst gesagt" beendete jede Debatte Äußerste Verschwiegenheit gegenüber Außenstehenden Pythagoras Marmorbüste 4. Jhdt v. Chr.

9 Sehet ! c 2 = 4 * ab/2 + (a - b) 2 = a 2 + b 2

10 a b c a 2 + b 2 = c 2 ma 2 + mb 2 = mc 2

11 a 2 + b 2 = c 2

12 ma 2 + mb 2 = mc 2 a 2 + b 2 = c 2

13 ma 2 + mb 2 = mc 2 a 2 + b 2 = c 2

14 Vegetarier (glaubte an Seelenwanderung) Keine direkte Überlieferung Keine hinterlassenen Schriften Kein Grabmal Alles ist Zahl 2, 3, 4,... und Proportion

15 c a Hippasos von Metapont: Erste Erkenntnis des Irrationalen (ca. 450 v. Chr.) An den Ort der Entstehung versetzt, ersäuft, lebendig begraben (in Abwesenheit ),... Entdeckung der Irrationalit ä t am gleichschenkligen Dreieck 2a 2 = c 2 oder am Goldenen Schnitt. Theorie des Irrationalen, Inkommensurabilität, 2 Inkommensurabilität von Seite und Diagonale: Es gibt keinen noch so kleinen gemeinsamen Maßstab ! 2a 2 = c 2 2 = = p q = p q

16 2 = p/q, teilerfremd 2 = p 2 /q 2 2q 2 = p 2 p 2 gerade p gerade p = 2z p 2 = 4z 2 2q 2 = 4z 2 q 2 = 2z 2 q 2 gerade q gerade p,q nicht teilerfremd Theorie des Irrationalen, Inkommensurabilität, 2

17 Euklid ( ) Elemente, Buch 10: Lehre von den Inkommensurablen Die Summe zweier Inkommesurablen ist zu den Summanden inkommensurabel (Bsp: 1 + 2). Irrationale Zahlen: alogos = unaussprechlich Nach Platon ( ) besaß Theodoros von Kyrene Irrationalitätsbeweise für die nicht ganzen Wurzeln aller Zahlen bis 17. Dessen Schüler Theaitetos ( ) bewies dies für alle natürlichen Zahlen. Frühe Behandlung des Irrationalen durch Eudoxos ( ), Erfinder des Exhaustionsverfahrens.

18 Alle Brüche sind periodische Dezimalzahlen. Division durch 3: Höchstens 2 verschiedene Reste 0 möglich. Periodenlänge höchstens 2. Alle periodischen Dezimalzahlen sind Brüche. Bsp.: 0, = 0, = 123, ,123 = ( ) 0,123 0,123 = 123/999 Irrationale Zahlen können nicht periodisch sein. Sie besitzen eine unendliche Folge unperiodischer Dezimalstellen. Auch alle abbrechenden Dezimalzahlen sind eindeutig als periodische Dezimalzahlen darstellbar: 10 0, ,999 = 9, ,999 (10 - 1) 0,999 = 9 0,999 = 1,000 = 1

19 Alle Wurzeln aus natürlichen Zahlen sind ganz oder irrational: Quadrate von Brüchen sind wieder Brüche: (3/4) 2 = 3 3 / 4 4 (Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung) 7 = p/q mit p,q teilerfremd 7qq = pp 9 = p/q 3q3q = pp p = 3q und da p,q teilerfremd q = 1, p = 3 Theodoros von Kyrene besaß Beweise für alle Zahlen bis 17.

20 Der Fundamentalsatz der Zahlentheorie Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist nicht trivial, da z. B. in den geraden Zahlen 60 = 30 2 = 10 6 Beweis der Eindeutigkeit für die ganzen Zahlen 4 = 2 2, 6 = 3 2,... sind eindeutig. Sei p P = q Q die kleinste mehrdeutige Zerlegung oBdA sei p > q und keine gleichen Faktoren vorhanden (p-q) P = p P - q P = q Q - q P = q (Q-P) < q Q (p-q) enthält nicht den Faktor q, da p und q prim.

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22 n z

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24 Stetige Teilung a/b = b/(a-b) > 0 = 1/( - 1) - 1 = 1/ = 0 ( - 1)( + 1) = = 1/2 + (1 + 1/4) = (1 + 5)/2 = 1, = 1 + = 1 + 1/

25 Martin Ohm ( ): Bruder von Georg Simon Ohm Goldener Schnitt (1835) Luca Pacioli ( ) ital. Mathematiker Leonardo da Vinci ( ) ital. Maler, Zeichner, Bildhauer, Architekt, Musiker, Naturforscher und Ingenieur Stetige Teilung Devina proportione (1509)

26 Johannes Campanus von Novarra ( ) Kaplan von Papst Urban IV. ( ) Kanonikus in Paris, Euklid-Übersetzer Irrationalitätsbeweis für die stetige Teilung durch descente infinie Stetige Teilung Seien x 1, x 2 erzeuge durch Multiplikation mit dem Hauptnenner n 1, n 2 (n 1 + n 2 )/n 1 = n 1 /n 2 mit n 2 < n n 2 /n 1 = n 1 /n 2 n 1 /n 2 = n 2 /(n 1 - n 2 ) (n 1 - n 2 ) n 3 mit n 3 < n 2 < n 1 (n 2 + n 3 )/n 2 = n 2 /n 3 usw. ad infinitum

27 Stetige Teilung auch am Pentagon! Armer Pythagoras.

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30 Tätigkeit als Ingenieur ab 1816 Professor in Frankreich und Italien Mit etwa 800 Abhandlungen ungewöhnlich produktiver und vielseitiger Mathematiker Cauchy-Kriterium Quotientenkriterium Wurzelkriterium Reihenverdichtung Konvergenzradius Diagonalverfahren Ableitung und Integral als Grenzwert Theorie komplexer Funktionen | a k | < k = m n Augustin Louis Cauchy ( )

31 Potentielles Verständnis des Grenzwertes: Wenn die Werte, die eine Variable annimmt, unbeschränkt einem festem Wert zustreben, so dass sie schließlich von ihm so wenig abweichen wie man will, so wird derselbe der Grenzwert aller anderen genannt. x = ax 2 = a 2x 2 = x 2 + a Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen definieren.

32 Richard Dedekind ( ) promovierte 1852 in Göttingen bei C.F. Gauß 1862 bis zu seiner Emeritierung 1894 Professor am Polytechnikum in Braunschweig (heutige TU) war aufgrund eines regen Briefwechsels mit G. Cantor direkt an dessen Formulierung der Mengenlehre beteiligt Dedekindscher Schnitt Drei Fälle sind möglich: A enthält eine größte Zahl: A = {a a 2}, B = {b b > 2} B enthält eine kleinste Zahl: A = {a a < 2}, B = {b b 2} A enthält keine größte und B keine kleinste Zahl: A = {a a } A enthält eine größte und B eine kleinste Zahl Alle Schnittzahlen der dritten Art bilden die Irrationalen Zahlen.

33 Dedekindscher Schnitt Drei Fälle sind möglich: A enthält eine größte Zahl: A = {a a 2}, B = {b b > 2} B enthält eine kleinste Zahl: A = {a a < 2}, B = {b b 2} A enthält keine größte und B keine kleinste Zahl: A = {a a } A enthält eine größte und B eine kleinste Zahl Alle Schnittzahlen der dritten Art bilden die Irrationalen Zahlen. "... so sind die negativen und die gebrochenen Zahlen durch den menschlichen Geist erschaffen"

34 "... so sind die negativen und die gebrochenen Zahlen durch den menschlichen Geist erschaffen" "Jedesmal nun, wenn ein Schnitt vorliegt, welcher nicht durch eine rationale Zahl hervorgebracht wird, so erschaffen wir eine neue, eine irrationale Zahl." "In Rücksicht auf diese Befreiung der Elemente von jedem andern Inhalt (Abstraktion) kann man die Zahlen mit Recht eine freie Schöpfung des menschlichen Geistes nennen." Was sind und was sollen die Zahlen? (1887): "Meine Hauptantwort auf die im Titel dieser Schrift gestellte Frage lautet: die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen."

35 Johann Heinrich Lambert ( ) Sohn eines Schneiders Autodidakt, Universalgelehrter: Mathematiker, Physiker, Astronom und Philosoph zunächst Buchhalter, Schreiber bei einem Prof. in Basel, Hauslehrer in Chur, Redakteur ab 1759 Mitglied der Bayerischen Akademie d. Wiss. ab 1765 Mitglied der Preuß. Akademie d. Wiss Manuskripte, davon 190 publiziert Beweis der Irrationalität von e und (Kettenbruchentwicklung von tanx) Vorläufige Kenntnis für die, so die Quadratur des Circuls suchen (1770)

36 Kettenbrüche für a < 1: Beispiele: Endliche Kettenbrüche sind rationale Zahlen. Unendliche Kettenbrüche sind irrationale Zahlen.

37 Lord Brouncker ( ) Kettenbrüche Leonhard Euler ( )

38 A = r U 2 = 3,

39 Geometrische Kreisquadraturversuche Anaxagoras (im Gefängnis) und Hippokrates von Chios gehörten zu den ersten, die das Problem bedachten. (5. Jhd. v. Chr.) Schon 414 v. Chr. war das Problem so populär, daß Aristophanes ( ) in "Die Vögel" von Kreisquadratoren als von Leuten spricht, die das Unmögliche versuchen. Zulässige Hilfsmittel für geometrische Konstruktionen nach Platon ( ): Zirkel und Lineal (ohne Markierung)

40 Ägypter: Ahmosis, 2. Jtd. v.Chr.: /4 = (8/9) 2 = 3,16... Babylonier: 2. Jtd. v.Chr.: = 3 + 1/8 = 3,125 Juden: 5. Jhd. v.Chr.: = 3 Die Zierde von Salomons Tempel (1000 v.Chr) war ein "gegossenes Meer, ruhend auf 12 Rindern" 10 Ellen weit, 5 Ellen hoch, mit einer Schnur ringsum 30 Ellen lang. [Bibel, 1. Könige 7,23 und II. Chronik 4,2] Griechen: Archimedes ( ): = 22/7 = 3, Chinesen: Tsu Chung-Chih ( ) fand den erstaunlich genauen Wert: = 355/113 = 3, den aber Liu hwuy (im 7. Jhd.) schon wieder vergessen hatte: = 157/50 = 3,14 Inder: Brahmagupta (7. Jhd.): = 10 = 3,16... Mittelalter: Rückfall in die Barbarei Michael Psellus, Byzanz, 11. Jhd. = 8 = 2, Franco von Lüttich, 11. Jhd. = (9/5) 2 = 3,24 Adrian Metius (1585): = 355/113 = 3, wiederentdeckt

41 Quadratur des Kreises durch Dinostratus (400 v. Chr.) mit der Quadratrix des Hippias von Elis (420 v. Chr.)

42 Rechenleistungen Ludolph van Ceulen (Köln) hatte 1596 auf 20 Stellen berechnet, gegen Ende seines Lebens: 35 Stellen Ludolphs Zahl Isaac Newton ( ) berechnete 15 Stellen 1665 zum Zeitvertreib Abraham Sharp, Anfang 18 Jhd. 71 Stellen Sherwin 72 Stellen Machin ( ), berechnete 100 Stellen in 1706 Leonhard Euler 1707 – 1783) berechnete in wenigen Stunden 20 Stellen Lamy: 127 Stellen John Dase ( ), Rechengenie, multiplizierte innerhalb von Stunden hundertstellige Zahlen im Kopf, berechnete 205 Stellen William Shanks ( ) produzierte 607 Stellen, davon 527 richtige, später (1853) 707 Stellen, aber falsch jenseits der 527. Der Fehler wurde erst 1945 erkannt, als D.F. Ferguson 530 Stellen berechnete. Letzte Berechnung mit Papier und Bleistift berechnete Ferguson 808 Stellen mit einem Tischrechner ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer): 2037 Stellen in 70 Stunden Stellen, von denen aber wegen Maschinenfehlers nur 7480 richtig waren 1958 IBM 704: Stellen in 100 Minuten 1961 IBM 7090: Stellen in 9 Stunden 1973 CDC 7600: 1 Mio. Stellen in weniger als 1 Tag 1985 Symbolics 3670: 17 Mio. Stellen 1986 CRAY-2: 29 Mio Stellen in weniger als 28 Stunden Mio Stellen, Yasumasa Kanada, Univ. Tokyo, in 116 Stunden Stellen, Takahashi und Kanada auf Hitachi SR8000, Univ. Tokyo Die Ziffern scheinen normal verteilt, scheint eine normale Zahl zu sein.

43 Modulare Identitäten (unendliche Reihen) S. Ramanujan (1914) D.V. Chudnovsky und G.V. Chudnovsky (1989)

44 Borwein (1989)

45 Bailey (1996)

46 kanterien 1897 passierte die Gesetzesvorlage Bill 246 das Parlament im US-Bundesstaat Indiana wonach := 3 scheiterte erst im Senat auf Intervention von Prof. C. Waldo. Rajan Mahadevan, sagte am in 3 h 49 min Stellen der Zahl aus dem Gedächtnis auf. Hideaki Tomoyori, erinnerte 1987 in 17 h 21 min Stellen der Zahl. WORLD RECORD HOLDER : 04 Jun Jul 1979 (15,151) 02 Oct Jun 1980 (20,000) 10 Mar Feb 1995 (40,000)

47 kanterien 1897 passierte die Gesetzesvorlage Bill 246 das Parlament im US-Bundesstaat Indiana wonach := 3 scheiterte erst im Senat auf Intervention von Prof. C. Waldo. Rajan Mahadevan, sagte am in 3 h 49 min Stellen der Zahl aus dem Gedächtnis auf. Hideaki Tomoyori, erinnerte 1987 in 17 h 21 min Stellen der Zahl. Die Näherungsformel des Japaners Arima = Liefert auf 30 Stellen genau. Univ. Tokio: ca. 200 Mia Stellen berechnet.

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49 in den ersten 1000 Dezimalstellen enthalten sind 116 mal die mal die mal die 3 93 mal die 4 97 mal die 5 94 mal die 6 95 mal die mal die mal die9 93 mal die 0

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