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Näherungsverfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen Anwendbar bei stetig differenzierbaren Funktionen Benannt nach Sir Isaac Newton 1669 Iteration.

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Präsentation zum Thema: "Näherungsverfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen Anwendbar bei stetig differenzierbaren Funktionen Benannt nach Sir Isaac Newton 1669 Iteration."—  Präsentation transkript:

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2 Näherungsverfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen Anwendbar bei stetig differenzierbaren Funktionen Benannt nach Sir Isaac Newton 1669 Iteration

3 Die zu lösende Gleichung in die Form f(x)=0 bringen Näherungen der Nullstellen der Gleichung finden: Ausgangsstelle x n wählen Tangente bei x n bilden Nullstelle x n+1 der Tangente bestimmen Nullstelle x n+1 als neue Ausgangsstelle x n wählen x n nähert sich der Nullstelle der Gleichung an Iterationschritt

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22 Tangente bei x n, also im Punkt P( x n | f(x n ) ): t: y = m x + b t: y = f(x n ) x + b P( x n | f(x n ) ) einsetzen: f(x n ) = f(x n ) x n + b b = f(x n ) – f(x n ) x n t: y = f(x n ) x + f(x n ) – f(x n ) x n t: y = f(x n ) + f(x n ) (x - x n ) Tangente bei x n

23 Nullstelle der Tangente: Nst. wird als x n+1 bezeichnet: t(x n+1 ) = 0 = f(x n ) + f(x n ) (x n+1 - x n ) - f(x n ) = f(x n ) (x n+1 - x n ) - f(x n ) / f(x n ) = x n+1 - x n x n - f(x n ) / f(x n ) = x n+1 x n+1 = x n - f(x n )/f(x n ) Nst. der Tangente

24 Newton Verfahren ist lokal konvergent Konvergenz von x n zu einer Nullstelle ist nur garantiert, wenn der Startwert schon ausreichend nahe der Nullstelle gewählt wurde x n kann sich nach dem ersten Iterationsschritt auch weiter entfernen und sich dann erst der Nullstelle annähern x n kann während der Iteration immer wieder hin und her, also von der einen auf die andere Seite der Nullstelle, springen Problematisch: Fällt x n auf eine Extremstelle, so hat die Tangente keine Nullstelle und die Gleichung x n+1 = x n - f(x n )/f(x n ) ist dementsprechend nicht lösbar, da f(x n ) = 0 wäre und im Nenner steht


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