Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

25.Februar.2006LK-MA - Christopher Schlesiger Rotationskörper Volumenberechnung von Rotationskörpern, die bei Rotation um die x- bzw. y-Achse entstehen,

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "25.Februar.2006LK-MA - Christopher Schlesiger Rotationskörper Volumenberechnung von Rotationskörpern, die bei Rotation um die x- bzw. y-Achse entstehen,"—  Präsentation transkript:

1 25.Februar.2006LK-MA - Christopher Schlesiger Rotationskörper Volumenberechnung von Rotationskörpern, die bei Rotation um die x- bzw. y-Achse entstehen, mit den Mitteln der Integralrechnung

2 25.Februar.2006LK-MA - Christopher Schlesiger Rotationskörper Rotationssymmetrische Körper entstehen bei einer Rotation einer Kurve um eine Rotationsachse. Beispiele für rotationssymmetrische Körper: Kegel: rotierende Funktion: f(x) = mx+n Kugel: rotierende Funktion: r²= x²+y² Zylinder: rotierende Funktion: f(x) = r, r = const.

3 25.Februar.2006LK-MA - Christopher Schlesiger Rotation um die x-Achse(1) Vor.: Es liegt eine auf dem Intervall [a; x+Δx] stetige Funktion f vor, die um die x-Achse rotiert. Der Bogen vom Punkt A bis zum Punkt P rotiert um die x-Achse und erzeugt dabei einen Körper mit dem Volumen V a (x)(hellblau). Nun wird P nach rechts zu Q um Δx verschoben. Dadurch entsteht der neue Körper mit dem Volumen V a (x+Δx)(hellblau+grün). Der Volumenzuwachs ΔV entspricht dabei ΔV=V a (x+Δx)- V a (x)(grün). Dessen Volumen wird abgeschätzt über zwei Zylinder.Es gilt: inneres Zylindervolumen < ΔV < äußeres Zylindervolumen Aus der Formel für das Zylindervolumen folgt:

4 25.Februar.2006LK-MA - Christopher Schlesiger Rotation um die x-Achse(2) Um die vorher vorgenommene Volumenvergrößerung wieder rückgängig zu machen, lassen wir Δx gegen Null also Q zu P laufen. Dementsprechend wird der Grenzwert gebildet: und, folgt: Da ist die Querschnittsfläche an der Stelle x Die Volumenfkt. ist also eine Stammfkt. der Querschnittsfkt.:

5 25.Februar.2006LK-MA - Christopher Schlesiger Rotation um die x-Achse(3) Nun bilden wir die Stammfunktion zur Querschnittsfunktion: Es fehlt uns nur noch die Integrationsvariable C, die wir aber durch ein paar einfache Überlegungen erhalten. Wir haben einen Drehkörper der allgemein bei a beginnt und bei b endet. Also schauen wir uns an was die Volumenfunktion für x=a bzw. x=b ergibt: Wenn linker und rechter Rand zusammenfallen, dann ist der Wert des Integrals 0. Damit und mit ergibt sich nun:, die Formel zur Berechnung von Volumen von Rotationskörpern bei Rotation um die x-Achse.

6 25.Februar.2006LK-MA - Christopher Schlesiger Rotation um y-Achse Bei einer Rotation um die y-Achse wird die Umkehrfunktion f zu f gebildet und diese lässt man dann von y 1 bis y 2 um die x-Achse rotieren mit der bekannten Formel. Dabei ist es am besten wenn man f gleich nach x und nicht nach x auflöst, da man dieses für die Volumenberechnung bei einer Rotation braucht. Bei einer Rotation um die y-Achse wird die Umkehrfunktion f -1 zu f gebildet und diese lässt man dann von y 1 bis y 2 um die x-Achse rotieren mit der bekannten Formel. Dabei ist es am besten wenn man f gleich nach x 2 und nicht nach x auflöst, da man dieses für die Volumenberechnung bei einer Rotation braucht.

7 25.Februar.2006LK-MA - Christopher Schlesiger Übungen/Aufgaben zu(1) (1)Der Graph der Funktion f(x)=xe 1-x rotiert um die x-Achse. Hat das Volumen einen endlichen Wert wenn a ins Unendliche reicht? (2)Leite die Formel für das Kugelvolumen mit Hilfe der Integralrechnung her. (3)Zeige mit den Mitteln der Integralrechnung, dass für das Volumen eines Zylinders die Formel f(x)=π r²h gilt. Warum ist diese Vorgehensweise kein Beweis für diese Formel? (4)Die beiden Kurven f(x)=4-x 4 und g(x)=3x 2 begrenzen eine Fläche, die um die y-Achse rotieren soll. Welches Volumen ergibt sich für die Fläche zwischen y-Achse und den beiden Kurven?

8 25.Februar.2006LK-MA - Christopher Schlesiger Übungen/Aufgaben (1)Für a gegen Unendlich ergibt sich folgendes:

9 25.Februar.2006LK-MA - Christopher Schlesiger Übungen/Aufgaben (2) (3) Dies ist kein Beweis für die Volumenformel eines Zylinders, da der Herleitung der Formel für das Volumen eines Rotationskörpers mit der Integralrechnung die Formel für einen Zylinder zu Grunde liegt, und man somit diesen Beweis auf der Formel aufbauen würde die er beweisen sollte.

10 25.Februar.2006LK-MA - Christopher Schlesiger Übungen/Aufgaben (4)


Herunterladen ppt "25.Februar.2006LK-MA - Christopher Schlesiger Rotationskörper Volumenberechnung von Rotationskörpern, die bei Rotation um die x- bzw. y-Achse entstehen,"

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen