Präsentation herunterladen
Die Präsentation wird geladen. Bitte warten
Veröffentlicht von:Sommer Karmann Geändert vor über 10 Jahren
1
1 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Wahrscheinlichkeitsverteilung Lernziele: Wahrscheinlichkeitsverteilung und der Wahrscheinlichkeitsdichte verstehen. Mittelwert und Streuungsmass kennen. Mit der Binomialverteilung, der Poisson- Verteilung und der Normalverteilung angemessene Probleme lösen können.
2
2 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Poisson-Verteilung Normalverteilung Exponentialverteilung...
3
3 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Zufallsvariable Eine Zufallsvariable (Zufallsgrösse) ist eine Funktion, die jedem Elementarereignis aus der Ergebnismenge genau eine reele Zahl X( ) zuordnet. Beispiele: X = Anzahl Würfe mit Augenzahl 1 X = Messwert in einer Messserie
4
4 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion F(X) einer Zufallsvariablen X ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich einer vorgegebenen reellen Zahl x ist: F(x) = P(X x) Es gilt: P(a < X b) = F(b) - F(a)
5
5 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Diskrete Verteilung Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvarfiablen X lässt sich durch die Wahrscheinlich- keitsfunktion oder durch die zugehörige Verteilungsfunktion vollständig beschreiben.
6
6 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Diskrete Verteilung Es gilt:
7
7 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Stetige Verteilung Bei einer stetigen Zufallsvariablen X mit dem Wertebereich – < X < wird die Verteilungs- funktion F(x) in der Integralform dargestellt: f(x) heisst Dichtefunktion
8
8 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Stetige Verteilung Es gilt:
9
9 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Erwartungswert einer Zufallsvariablen
10
10 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Diskrete Zufallsvariable X
11
11 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Stetige Zufallsvariable X
12
12 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Binomialverteilung (diskret) Beispiel: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfel in 10 Versuchen 4-mal die Augen- summe 6 zu werfen? P(X = 4) =
13
13 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Binomialverteilung allgemein: Ziehen mit Zurücklegen Die Wahrscheinlichkeit, dass in n Zufalls- versuchen das Ereignis E x-mal eintritt, ist:
14
14 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Poisson-Verteilung Anzahl der Zufallsversuche ist sehr gross und die Wahrscheinlichkeit p ist sehr klein (d.h. es wird q = 1 - p 1) Grenzwert der Binomialverteilung mit n. Es gilt: Erwartungswert = np Varianz 2 = npq =
15
15 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Poisson: Relativer Fehler Für eine Messunsicherheit von 10% müssen im Mittel pro Messintervall wenigstens µ = 10 2 Ereignisse registriert werden. Für höhere Genauigkeiten gilt: 1%µ = 10 4 1µ = 10 6
16
16 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Poisson: Beispiel Ein Gramm Radium (Ra) enthält etwa 10 22 Atome. Diese können zerfallen. Der Zerfall eines Kerns ist unabhängig von anderen kernen. Ferner ist be- kannt, dass die mittler Anzahl -Teilchen, welche 1 Gramm Radium pro Sekunde aussendet, 10 10 ist. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Messintervall t (z.B. t = 1s) von 1 Gramm Radium x -Teilchen ausgesandt werden?
17
17 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Poisson: Lösung Erwartungswert = np = 10 22 p 10 10
18
18 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Normalverteilung Die Zufallsvariable X kann jeden reellen Wert einnehmen. Die Normalverteilung ist eine kontinuierliche Verteilung. glockenförmige Verteilungskurve
19
19 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Gauss'sche Glockenkurve: Dichtefunktion
20
20 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Gauss'sche Glockenkurve: Verteilungsfunktion µ = Mittelwert = Standardabweichung
21
21 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Gauss'sche Glockenkurve Die Koeffizienten sind so festgelegt, dass die Fläche zwischen Kurve und Achse für alle und immer 1 ergibt. Es gilt:
22
22 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz = 0, variiert = 1 = 2 = 5
23
23 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz variiert, = 1 = 0 = -5 = 10
24
24 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Wahrscheinlichkeit, x1x1 x2x2 dass der Wert der Zufallsvariablen x zwischen x1 und x2 liegt:
25
25 (C) 2002, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Exponentialverteilung
Ähnliche Präsentationen
© 2024 SlidePlayer.org Inc.
All rights reserved.