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Kapitel 3: TAYLOR-REIHEN von Patricia, Anita, Lisa, Curdin & Mario 5Gm.

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1 Kapitel 3: TAYLOR-REIHEN von Patricia, Anita, Lisa, Curdin & Mario 5Gm

2 TAYLOR-REIHEN: Übersicht -1- Einführung zu den Taylor-Reihen am einem Beispiel Potenzreihenentwicklung zweier Funktionen: Mac Laurinsche Reihe - Entwicklung zur Definition & Anmerkungen - Beispiel Taylorsche Reihe - Definition & Anmerkungen - Beispiel Tabelle wichtiger Potenzreihenentwicklungen Beispiel übers ganze Kapitel 3 SEITEN: , 4 & &

3 TAYLOR-REIHEN: Einführung -2- Einleitung: - erklären wie man eine Funktion in eine Potenzreihe entwickelt - durch Reihenentwicklung eine Nährungsfunktion - Potenzreihenentwicklung: ein brauchbares Hilfsmittel Anwendung bei folgenden Problemen: - Annäherung von f(x) durch Polynomfunktion - Berechnung von Funktionswerten - Herleitung von Nährungsformeln - Integration einer Funktion

4 TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -3- Mac Laurinsche Reihe: 1. Die Entwicklung der Funktion f(x) vom folgenden Typ ist grundsätzlich möglich und eindeutig. 2. f(x) ist in der Umgebung von x=0 beliebig oft differenzier- bar und die Ableitungswerte f(0), f`(0), f``(0),... können berechnet werden. Zu zeigen ist, dass unter diesen Voraussetzungen die Koeffizienten a 1, a 2, a 3,... eindeutig durch die Funktions- und Ableitungswerte f(0), f`(0), f``(0),... bestimmt sind. Annahmen:

5 TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -4- Mac Laurinsche Reihe: 1. Berechnung der ersten Ableitungen 2. Ausklammern der Koeffizienten 3. Allgemeiner Bildungssatz An der Stelle x=0 gilt dann: Dadurch sind die Koeffizienten von f(x) an der Stelle x=0 eindeutig bestimmt. Unter den ganannten Voraussetzungen ergibt sich die Formel:

6 TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -5- Mac Laurinsche Reihe: Anmerkungen: 1. Die Funktion muss um die Entwicklungsstelle x=0 belibig oft differenzierbar sein. 2. Potenzreihenentwicklung um den Nullpunkt 3. Innerhalb des Konvergenzradius wird eine Funktion durch die Mac Laurinsche Reihe dargestellt Symetrieeigenschaften ablesbar - Reihenentwicklung gerader Funktion, daraus folgt: gerade Potenzen - Reihenentwicklung ungerader Funktion, daraus folgt: ungerade Potenzen

7 TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -6- Mac Laurinsche Reihe: Beispiele Beispiel 1.a : Mac Laurinsche Reihe von f(x)=e x Beispiel 1.b : Mac Laurinsche Reihe von f(x)=e -x

8 TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -7- Mac Laurinsche Reihe: Beispiele Beispiel 2 : Mac Laurinsche Reihe von f(x)=sin(x) und f(x)=cosx Entwicklung der Sinusfunktion f(x)=sinx in eine Mac Laurinsche Reihe:

9 TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -8- Mac Laurinsche Reihe: Beispiele Beispiel 3 : Mac Laurinsche Reihe von e x /(1-x)

10 TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -9- Taylorsche Reihe: - Die Mac Laurinsche Reihe ist ein Sonderfall der taylorschen Reihe. - Funktion an beliebiger Stelle x 0 entwickeln, wenn die gleichen Vorraussetzungen wie bei der Mac Laurinschen Reihe gegeben sind. Die Taylorsche Reihe ist somit von folgender Form:

11 TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -10- Taylorsche Reihe: Anmerkungen: 1. Die Taylorsche Reihe geht in die Mac Laurinsche Reihe über für den Nullpunkt. 2. Sie konvergiert für jedes x aus |x-x 0 |< r

12 TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -11- Taylorsche Reihe: Beispiele Beispiel : Die Entwicklung der logarythmischen Funktion f(x)=lnx Zusammengefasste Schreibweise:

13 TAYLOR-REIHEN: Tabelle wichtiger Potenzreihenentwicklungen -12-

14 TAYLOR-REIHEN: Tabelle wichtiger Potenzreihenentwicklungen -13-

15 TAYLOR-REIHEN: Tabelle wichtiger Potenzreihenentwicklungen -14-

16 THE END


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