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Kapitel 11 Heteroskedastizität. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 2 Der Sachverhalt Das (wahres) Modell ist y = X + u, Dimension von X: n x k.

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1 Kapitel 11 Heteroskedastizität

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 2 Der Sachverhalt Das (wahres) Modell ist y = X + u, Dimension von X: n x k Annahme A6: Var{u} = 2 I Annahme 6 sagt, dass die Varianz des Fehles konstant ist (Homoskedastizität): Var{u t } = 2, t = 1,…,n In der Realität trifft diese Annahme nicht immer zu. Man spricht dann von Heteroskedastizität. Var{u} = diag( 1 2, …, n 2 ) = 2 = 2 diag( 1, …, n ) Fragestellungen: Konsequenzen von Heteroskedastizität Möglichkeiten zum Identifizieren von Heteroskedastizität Alternative Schätzverfahren bei Vorliegen von Heteroskedastizität

3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 3 Beispiel: Dauerhafter Konsum 70 Haushalte (HH): Monatliches HH- Einkommen und Ausgaben für Güter des dauerhaften Konsums (Querschnittsdaten)

4 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 4 Bsp: Dauerhafter Konsum, Forts. Plot der Residuen e = y- ŷ aus Ŷ = X X: Monatliches HH- Einkommen Y: Ausgaben des dauerhaften Konsums Je größer das Einkommen, umso mehr streuen die Residuen!

5 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 5 Heteroskedastizität: Typische Situationen Heteroskedastizität tritt typischerweise auf bei Querschnittserhebungen, etwa von Haushaltsdaten. Z.B.: Die Heterogenität der HHe steigt mit dem Eink Querschnittserhebung über verschiedene Regionen (Regional/Geographische Daten) Z.B.: Unterschied Stadt/Land Daten mit geometrischem/exponentiellem Wachstum, wenn der Trend falsch spezifiziert ist (Box-Cox- Transformation zur Varianzstabilisierung) [ y log(y)] Modell mit stochastischen Regressionskoeffizienten Finanzmarkt-Daten wie Wechselkurse oder Renditen von Wertpapieren (bedingte Heteroskedastizität )

6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 6 Beispiel: Stochastische Regressionskoeffizienten Betrachten wir das Modell Y t = + t X t + u t, t = + t Zwar ist t ) = aber t ist hier nicht konstant. t ist eine für alle t identisch und unabhängig verteilte Variable (i.i.d.) mit Mittel 0 und Varianz e 2. Das Modell kann geschrieben werden als Y t = + X t + v t mit Störgrößen v t = u t + X t t Damit ist die Varianz der v t nicht konstant. Var{v t } = u 2 + X t 2 e 2 = f(X t 2 )

7 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 7 OLS-Schätzer b unter Heteroskedastizität Für b gilt wie unter Homoskedastizität b = (XX) -1 Xy = + (XX) -1 Xu Mit E{u} = 0, ist b erwartungstreu: E(b) =. Die Varianz von b nach der OLS Formel ist 2 (X'X) -1 Die korrekte Varianz von b ist allerdings mit Var{u} = 2 = 2 diag( 1, …, n ) Var{b} = E[(b- )(b- )] = 2 (X'X) -1 X' X (X'X) -1 Die Varianzen nach der OLS Formel sind verzerrt.

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 8 Heteroskedastizität und OLS Die OLS-Schätzer b für sind erwartungstreu konsistent haben die Kovarianzmatrix Var{b} = 2 (X'X) -1 X' X (X'X) -1 keine effizienten Schätzer (Es gibt bessere: WLS.) unter allgemein erfüllten Bedingungen asymptotisch normalverteilt Die OLS-Schätzer für s 2 = e'e/(n-k) der Varianz der Störgrößen 2 ist verzerrt (e: Vektor der OLS-Residuen)

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 9 Heteroskedastizität und OLS Bei Anwendung von OLS, d.h. bei Vernachlässigung Vorliegender Heteroskedastizität, sind die aus 2 (X'X) -1 bestimmten Standardfehler verzerrt und die zugehörigen t- und F-Tests liefern irreführende Ergebnisse!

10 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 10 Tests auf Heteroskedastizität Residuen sollten wegen Unverzerrtheit von b die Heteroskedastizität anzeigen. Tests auf Basis der Residuen Goldfeld-Quandt-Test Glejser-Test Breusch-Pagan-Test White-Test Diese Tests unterstellen bestimmte Modelle für die Heteroskedastizität.

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 11 Goldfeld-Quandt-Test Nullhypothese: Homoskedastizität Alternative: Es liegen zwei Regime mit 1 2 und 2 2 als Varianz der Störgrößen vor. Die Zugehörigkeit zu Regimen wird durch die Variable Z angezeigt. Beispiel (Z ist eine Regime-Dummy): y 1 = X u 1, Var{u 1 } = 1 2 I n1 … Regime 1 (n 1 Beob.) y 2 = X u 2, Var{u 2 } = 2 2 I n2 … Regime 2 (n 2 Beob.) Nullhypothese: 1 2 = 2 2 F-Test: F vlt mit (n 1 -k) und (n 2 -k) FGen S i : Summe der quadrierten Residuen für i-tes Regime

12 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 12 Goldfeld-Quandt-Test, Forts. Das Testverfahren läuft in folgenden Schritten ab: 1. Sortieren der Beobacht. nach steigenden Werten von Z 2. Entfernen von 2c Beobachtungen in der Mitte 3. Getrennte OLS-Anpassung an die ersten n 1 und die letzten n 2 Beobachtungen und Bestimmung der OLS- Schätzer b i und der Summen der quadrierten Residuen S i (i = 1,2) 4. Berechnen der Teststatistik F. Sie ist unter H 0 exakt oder näherungsweise F-verteilt mit (n 1 -c-k) und (n 2 -c- k) Freiheitsgraden. (Wir testen i.A. 1-seitig s 1 > s 2 )

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 13 Bsp: Dauerhafter Konsum, Forts. Testen auf zwei Regime: (1) X > 4000 und (2) X < A: beide Regime gemeinsam (n = 70): Ŷ = X S = 2, , s = [S/(70-2)] 0.5 = B(1): X > 4000 (n 1 = 22): Ŷ = X, S 1 = 1, , s 1 = [S 1 /(22-2)] 0.5 = 258 B(2): X < 4000 (n 2 = 48): Ŷ = X, S 2 = , s 2 = [S 2 /(48-2)] 0.5 = 117

14 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 14 Bsp: Dauerhafter Konsum, Forts. F-Teststatistik: n 1 = 22, S 1 = 1, n 2 = 48, S 2 = p-Wert: ; Die Nullhypothese wird verworfen. Die Ursache für Ablehnung kann oder 1 2 sein!

15 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 15 Glejser-Test Ein Modell für Heteroskedastizität mit f(..) > 0 und f(0)=1. Mit (p x 1)-Vektoren z t und : Interzept 1, p-1 Variablen Z 2, …, Z p Die Fehlervarianz wird durch die Variablen Z j erklärt. Die Nullhypothese: Kein Z j kann die Varianz erklären H 0 : 2 = … = p = 0 Also t 2 = f( 1 ) ist konstant für alle t: Homoskedastizität Alternativhypothese: ein j 0, für j > 1.

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 16 Bsp: Dauerhafter Konsum, Forts. Annahme für den Glejser-Test, z.B. t 2 = X t (Die Fehlervarianz steigt linear mit dem Einkommen, f(X) > 0.) 1.Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = X 2.Anpassen der quadrierten Residuen: e 2 = X t-Test für 2, d 2 =10.9: t = 4.3, p-Wert = Die Nullhypothese 2 =0 kann nicht beibehalten werden. [ Alternativ z.B.: t 2 = X t 2 ]

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 17 Glejser-Test, Forts. Der Test läuft in den folgenden Schritten ab: 1. Ermitteln der OLS-Residuen e t des Modells für y 2. Aufstellen einer Hypothese zur Erklärung der Varianz in den Fehlern, f(..). 3. Regression der Fkt f(Z 2, …, Z p ) auf die Residuen e t Test der Nullhypothese: 2 = … = p = 0 mittels Wald-/F-Test bzw. t-Test, wenn p = 2. Funktionaler Zusammenhang f und Residuen-Modell: Regression von e t 2 auf (z t ' ) zum Test von t 2 = 2 (z t ' ) Regression von log e t 2 auf (z t ' ) für t 2 = 2 exp[z t ' ]

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 18 Breusch-Pagan-Test (H 0 wie Glejser-Test) Modell für Heteroskedastizität mit f(..) > 0 und f(0)=1 mit p-Vektoren z t und, Interzept 1, p-1 Variablen Z 2, …, Z p Die Fehlervarianz wird durch die Variablen Z j erklärt. Nullhypothese: kein Z j kann die Varianz erklären H 0 : 2 = … = p = 0 Also t 2 = f( 1 ) für alle t, d.h. es liegt Homoskedastizität vor. Alternativhypothese: ein j 0, für j > 1.

19 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 19 Breusch-Pagan-Test, Forts. Der Test läuft in den folgenden Schritten ab: 1. Ermitteln der OLS-Residuen e t des Modells für y 2. Berechnung des Schätzers s e 2 = e'e/n und Transformation der quadrierten, standardisierten Residuen e t 2 in die Größen g t = e t 2 / s e 2 3. Regression der g t auf die Variablen Z 2, …, Z p 4. Berechnen der Lagrange-Multiplier Teststatistik LM(H) = 1/2 [g'Z(Z'Z) -1 Z'g], die unter H 0 asymptotisch Chi-Quadrat-verteilt mit (p-1) Freiheitsgraden ist

20 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 20 Breusch-Pagan-Test, Forts. Berechnung von LM(H) = nR g 2 über das Bestimmtheitsmaß R g 2 der Regression der g t auf die Variablen Z 2, …, Z p

21 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 21 Bsp: Dauerhafter Konsum, Forts. Breusch-Pagan-Test, z.B. ob t 2 = X t 1.Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = X 2.Berechnen von g t = e t 2 / s e 2 3.Anpassen der transf. Residuen: g = X R g 2 = , LM(H) = 70 (0.2143) = 15.0, p-Wert: aus der Chi-Quadrat-Verteilung mit (2-1)=1 Freiheitsgrad Die Nullhypothese 2 =0 wird verworfen.

22 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 22 White-Test Test der Nullhypothese: H 0 : t 2 = 2 (konstant) für alle t gegen die unspezifizierte Alternative, H 0 sei unrichtig Teststatistik: W = n R e 2 R e 2 ist das Bestimmtheitsmass aus der Hilfsregression der quadrierten Residuen e t 2 auf alle Regressoren des Modells, ihre Quadrate und gegebenenfalls auch auf ihre Produkte. W ist asymptotisch Chi-Quadrat-verteilt mit der Anzahl der geschätzten Koeffizienten minus eins als Freiheitsgrade.

23 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 23 White-Test Vor-/Nachteile: (1)Technische Überprüfung der Modelleigenschaften (2) Man muss kein Verhaltensmodell für die Varianzen spezifizieren.

24 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 24 Bsp: Dauerhafter Konsum, Forts. White-Test, ob t 2 = 2 für alle t 1.Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = X 2.Anpassen der Res: e 2 = X – X 2 R e 2 = 0.226, W = 70 (0.226) = 15.82, p-Wert: aus der Chi-Qudrat-Vtlg mit (3-1) = 2 FGen. Die Nullhypothese konstanter Fehlervarianz wird verworfen.

25 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 25 Inferenz bei Heteroskedastizität Kovarianzmatrix des OLS-Schätzers b ist Var{b} = 2 (X'X) -1 X' X (X'X) -1 Die Verwendung von 2 (X'X) -1 führt zu verzerrten Testergebnissen. Falsche Standardfehler können vermieden werden durch 1.Verwendung der korrekten Varianzen (Heteroskedastizitäts-konsistente Kovarianzmatrizen) 2.Transformation des Modells, sodass die Störgrößen homoskedastisch werden.

26 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 26 Heteroskedastie-konsistente Standardfehler (White) Die theoretische Kovarianzmatrix für b ist Var{b} = 2 (X'X) -1 X' X (X'X) -1 Die heteroskedasticity consistent geschätzte Kovarianzmatrix nach White ( diagonal, x t ist Zeilenvektor von X) (Es werden die e t 2 als Näherung für t 2 verwendet.) Sie liefert die passenden White-Standardfehler für die b i Simulationen zeigen, dass die White-Standardfehler die tatsächlichen Standardfehler unterschätzen.

27 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 27 Heteroskedastie-konsistente Standardfehler (White) EViews bietet White-Standardfehler als Option bei der OLS-Schätzung.

28 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 28 Bsp: Dauerhafter Konsum, Forts. Wir schätzen die Konsumfunktion mit OLS: Ŷ = X einmal mit OLS-Standardfehler: Der Standardfehler des Koeffizienten von X beträgt White-/Heteroskedastie-konsistente Standardfehler: Der nicht korrigierte Standardfehler (OLS) unterschätzt um mehr als 30%.

29 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 29 Variablen-Transformation Ist die funktionale Form der Abhängigkeit der t 2 bekannt, oder haben wir ein gutes Modell dafür, so wählen wir eine geeignete Transformation des Modells. Beispiel: Das Modell sei Y t = + X t + u t mit heteroskedast. Störgrößen: t 2 = Z t 2 für t = 1, …, n. Der transformierte Fehler v t = u t /Z t ist nun Var{v t } = Var{u t }/Z t 2 = 2 (= homoskedastisch. In einem Schritt zusammengefasst bedeutet das die Transformation des Modells Y t = + X t + u t zu

30 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 30 Variablen-Transformation, Forts. Wir schätzen nun das transformierte Modell. Es hat die Eigenschaften, dass die Fehler (wie gewünscht) homoskedastisch sind, und die Koeffizienten mit denen im ursprünglichen Modell übereinstimmen, also direkt ablesbar sind. Allerdings: Die R 2 der Schätzungen mit und ohne Gewichtung sind nicht vergleichbar, da verschiedene y-Variable modelliert werden! In EViews kann man die Option gewichtete LS- Schätzung wählen.

31 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 31 Gewichtete LS-Schätzer Die Schätzung des transformierten Modells kann als gewichteter LS-Schätzer interpretiert werden. Beispiel: Modell Y t = a + b X t + u t mit Var{u t } = t 2 = Z t 2 Wir minimieren im nicht-transformierten Modell t (Y t – a – b X t ) 2 u t = Y t – a – b X t und im transformierten Modell t w t (Y t – a – b X t ) 2 v t = (1/Z t )(Y t – a – b X t ) mit den Gewichten w t = (1/Z t 2 ) [ w t = 1/ t mit t =Z t 2 aus Var{u} = = diag(Z 1 2, …, Z n 2 ) ] Diese gewichtete LS-Schätzung ist ein Spezialfall der GLS- Schätzung, generalized LS-Schätzung.

32 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 32 Bsp: Dauerhafter Konsum, Forts. Unser Modell ist Y t = a + b X t + u t mit t 2 = 1 X t. Die zugehörige Transformation des Modells ist (1/X t ) Das entspricht Gewichten w t = 1/X t Die angepasste Funktion ist

33 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 33 GLS, generalised least squares Angenommen unser Modell liegt in Matrixform vor y = X + u mit Var{u} = E(uu) = diag( t 2 ) = u ist heteroskedastisch. y ist (n x 1), X ist (n x k), ist (k x 1) und ist (n x n). Die Gewichte w t (von oben) sind w t = 1/ t 2. Wir multiplizieren die Gleichung in jedem Zeitpunkt mit w t -1/2 = 1/ t y t / t = x t / t + u t / t bzw. y t * = x t * + v t

34 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 34 GLS, generalised least squares In Matrixschreibweise ist das äquivalent zur Multiplikation mit = diag(1/ t ) von links y = X + u bzw. y* = X* + v v ist homoskedastisch. Der OLS-Schätzer für das transformierte Modell (*) ist einfach b* = (X*`X*) -1 X*y* mit Var(b*) = (X*X*) -1 OLS liefert den besten unverzerrten Schätzer für, b*, da die v t homoskedastisch sind.

35 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 35 GLS-Schätzer b* in den beobachteten Variablen y und X angeschrieben gibt den GLS-Schätzer, b* = b GLS des ursprünglichen Modells y = X + u b GLS = (X X) -1 X y und Var(b GLS ) = (X X) -1 Die Elemente von sind allerdings (noch) Parameter der Grundgesamtheit und daher unbekannt.

36 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (11) 36 FGLS-Schätzer Den FGLS (feasible GLS) Schätzer (feasible = ausführbar) erhält man, wenn für die Elemente aus Werte aus der Stichprobe gewählt werden. Da wir nur Varianzen benötigen (Hauptdiagonalelemente) setzen wir wie oben (siehe White heteroscedasticity consistent Standardfehler und 2-stufige Schätzung) für t 2 die quadrierten Residuen aus der OLS Schätzung (1.Stufe) ein. t 2 e t 2


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