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Die Sinus-Funktionen Eine Einführung. Definitions- und Wertebereich Man definiert die Funktion y = sin x, mit x є R und y є R mit -1y1 Da Sinus eine Winkelfunktion.

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Präsentation zum Thema: "Die Sinus-Funktionen Eine Einführung. Definitions- und Wertebereich Man definiert die Funktion y = sin x, mit x є R und y є R mit -1y1 Da Sinus eine Winkelfunktion."—  Präsentation transkript:

1 Die Sinus-Funktionen Eine Einführung

2 Definitions- und Wertebereich Man definiert die Funktion y = sin x, mit x є R und y є R mit -1y1 Da Sinus eine Winkelfunktion ist, wird normalerweise der Sinus eines Winkels gebildet Um einen reellen Definitionsbereich zu schaffen, rechnet man Grad ° in das Bogenmaß um

3 Definitions- und Wertebereich Die allgemeine Verhältnisgleichung für das Umrechnen von Grad ins Bogenmaß lautet: in °Im Bogenmaß

4 Berechne die wichtigsten Winkel im Bogenmaß: Winkel in ° 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° Winkel im Bogenmaß 0 ¼ π = 0,7854 ½ π = 1,5708 ¾ π = 2,3562 π = 3, ¼ π = 3, ½ π = 4, ¾ π = 5, π = 6,2832

5 Funktionsgraph Mit Hilfe einer Tabellierung der Sinus-funktion und dem Graphen lässt sich die Funktion darstellen: X 0 0,25 ϖ 0,5 ϖ 0,75 ϖϖ 1,25 ϖ 1,5 ϖ 1,75 ϖ 2ϖ2ϖ Sin x 0,000,711,000,710-0,71-1,00-0,710

6 Funktionsgraph Die Werte werden nicht starr verbunden, es entsteht eine Art Welle

7 Funktionsgraph Die Welle wiederholt sich mit einer Periodenlänge von 2 ϖ Durch Anpassung der x-Achse mit vielfachen von ϖ wird es übersichtlicher:

8 Funktionsgraph Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π (Schrittweite 0,25π) Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an. Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-)

9 Funktionsgraph Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π (SW: 0,25π) xsin x 2π2π0 1,75π0,71 1,5π1 1,25π0,71 π0 0,75π-0,71 0,5π 0,25π-0, ,25π0,71 xsin x 0,5π1 0,75π0,71 π0 1,25π-0,71 1,5π 1,75π-0,71 2π2π0 2,25π0,71 2,5π1 2,75π0,71 3π3π0 3,25π-0,71 3,5π 3,75π-0,71 4π4π0

10 Funktionsgraph Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π (SW: 0,25π) Die Sinusfunktion besitzt eine Periodizität mit einer Periodenlänge von 2 ϖ

11 Funktionsgraph - Eigenschaften Die Sinusfunktion besitzt die Nullstellen …, 4π, 3π, 2π, π, 0, π, 2π, 3π, …, allgemein kπ mit k Z Der Maximalwert (1) wird erreicht für …, -7/2 π, -3/2 π, 1/2 π, 5/2 π, …, allgemein π/2 + kπ mit k Z Der Minimalwert (1) wird erreicht für …, -5/2 π, -1/2 π, 3/2 π, 7/2 π, …, allgemein 3/2 π + kπ mit k Z

12 Funktionsgraph: y = a sin x Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun die Funktionen f(x) = y = 3 sin x und g(x) = y = 0,5sin x im Intervall von -2π bis 2π (Schrittweite 0,25π) Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an. Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-)

13 Funktionsgraph: y = a sin x Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun die Funktionen f(x) = y = 3 sin x und g(x) = y = 0,5sin x x3 sin x0,5 sin x 2π2π00 1,75π2,120,35 1,5π30,5 1,25π2,120,35 π00 0,75π-2,12-0,35 0,5π-3-0,5 0,25π-2,12-0, ,25π2,120,35 x3 sin x0,5 sin x 0,5π30,5 0,75π2,120,35 π00 1,25π-2,12-0,35 1,5π-3-0,5 1,75π-2,12-0,35 2π2π00 2,25π2,120,35 2,5π30,5 2,75π2,120,35 3π3π00 3,25π-2,12-0,35 3,5π-3-0,5 3,75π-2,12-0,35 4π4π00

14 Funktionsgraph: y = a sin x Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π (SW: 0,25π)

15 Funktionsgraph: y = a sin x Der Parameter a in der Form y = a sin x… Verändert Nullstellen oder Periodizität (2π) nicht Verändert den Maximalwert von 1 auf a Verändert den Minimalwert von 1 auf a Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen

16 Funktionsgraph: y = a sin x Der Parameter a in der Form y = a sin x… Verändert den Maximalwert von 1 auf a Verändert den Minimalwert von 1 auf a Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen Man nennt die maximale Auslenkung einer Sinusförmige Welle auch Amplitude. y(max) = 1 Amplitude ist 1 y(max) = 3 Amplitude ist 3 y(max) = 0,5 Amplitude ist 0,5

17 Funktionsgraph: y = sin (bx) Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun die Funktionen f(x) = y = sin (2x) und g(x) = y = sin (0,5x) im Intervall von -2π bis 2π (Schrittweite 0,25π) Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an. Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-)

18 Funktionsgraph: y = sin (bx) Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktionen im Intervall von -2 π bis 4π (SW: 0,25π) x sin (2x) sin (0,5x) 2π2π00 1,75π1-0,38 1,5π0-0,71 1,25π-0,92 π0 0,75π1-0,92 0,5π0-0,71 0,25π-0, ,25π10,38 x sin (2x) sin (0,5x) 0,5π00,71 0,75π0,92 π01 1,25π10,92 1,5π00,71 1,75π0,38 2π2π00 2,25π1-0,38 2,5π0-0,71 2,75π-0,92 3π3π0 3,25π1-0,92 3,5π0-0,71 3,75π-0,38 4π4π00

19 Funktionsgraph: y = sin (bx) Die Periodizität der Sinusfunktion wurde durch den Parameter b geändert. b = 2: die Periodenlänge wird halbiert, doppelt so viele periodische Wiederholungen b = ½ : die Periodenlänge wird verdoppelt, halb so viele periodische Wiederholungen

20 Funktionsgraph: y = sin (bx) Der Parameter b in der Form y = sin (bx)… Verändert die Amplitude nicht Verändert Nullstellen und Periodizität! Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen in x- Richtung

21 Funktionsgraph: y = a sin x Für y = sin (bx) gilt … b > 1: Periodenlänge verkürzt sich b = 1: Periodenlänge von 2π 0 < b < 1: Periodenlänge vergrößert sich b = 1 Periodenlänge 2π b = 2 Periodenlänge 1π b = 0,5 Periodenlänge 4 π


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