Ein Dozent hat mittels eines Fragebogens die Körpergröße seiner Studenten festgestellt. Anhand der erfassten Daten weiß er, dass der kleinste Student 158.

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1 Ein Dozent hat mittels eines Fragebogens die Körpergröße seiner Studenten festgestellt. Anhand der erfassten Daten weiß er, dass der kleinste Student 158 cm und der größte Schüler 204 cm groß ist. Sein Kollege will von ihm wissen, ob der Großteil der Daten denn nun eher in der Nähe des Minimums oder des Maximums liegt. Um eine Frage wie diese beantworten zu können, wäre ein Wert nützlich, von dem wir sagen könnten, er teile die Beobachtungen in zwei Teile, so dass die eine Hälfte der Daten unterhalb und die andere oberhalb dieses Wertes liegt. Dieser Wert repräsentiert die Datenmitte und wird als Median bzw. Zentralwert bezeichnet. Im Vergleich zum Mittelwert

2 158 160 160 160 160 162 163 163 163 164 165 165 165 165 165 166 166 166 167 168 168 169 170 170 171 172 172 172 172 173 174 175 175 175 178 179 180 181 181 183 183 183 185 185 186 186 186 190 190 192 194 194 198 201 204 Berechnung des Zentralwertes : n = 55 => 55:2=27,5 =>Ergebnis ungerade => beim nächsthöheren Rang, also 28, muss man den Zentralwert ablesen. z = 172 cm 50% der Studierenden sind kleiner als 172cm, die restlichen 50% der Studierenden sind größer als 172cm.

3 Wird jeweils der Median der beiden Datensatzhälften bestimmt, erhalten wir die unteren und oberen Quartile. Mit diesen Werten wird der Datensatz in vier Teile geteilt. Welche Aussagen kann man treffen, wenn man die Quartile kennt? Ein Datensatz wird folglich in vier Teile geteilt, in denen jeweils 25% der beobachteten Werte liegen.

4 Berechnung der Quartile : unteres Quartil : n : 4 = 55 : 4 = 13,75 => Ergebnis ungerade beim nächsthöheren Rang, also 14, muss das q u abgelesen werden. q u = 165 cm Oberes Quartil : 55 : 4 * 3 = 41,25 => Ergebnis ungerade Beim nächsthöheren Rang, also 42, muss das Q o abgelesen werden. q o = 183 cm 158 160 160 160 160 162 163 163 163 164 165 165 165 165 165 166 166 166 167 168 168 169 170 170 171 172 172 172 172 173 174 175 175 175 178 179 180 181 181 183 183 183 185 185 186 186 186 190 190 192 194 194 198 201 204 Damit sind 25% der Studierenden kleiner als 165cm und 75% der Studierenden kleiner als 183cm.

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6 Problemstellung Die Studierenden des ersten Semesters wollen wissen, ob sie den Gerüchten an der Universität Glauben schenken dürfen und die Mathematikprüfung tatsächlich schwer zu bestehen ist. Aus diesem Grund haben sie 20 ältere Kommilitonen nach deren Punktzahl in der besagten Klausur befragt. Sie wollen nun genauere Aussagen über den Ausgang der Klausur treffen.

7 Die Studierenden wollen aus dem geordneten Datensatz die entsprechenden Quartile berechnen: 30 35 37 40 40 49 51 54 54 55 57 58 60 60 62 62 65 67 74 89 50% der Studierenden haben in der Prüfung mindestens 56 Punkte erreicht. Berechnung des Zentralwertes : n = 20 => 20:2=10 =>Ergebnis gerade => Mittelwert aus dem Wert und des nächst höheren Rangplatzes ist der Zentralwert. z = (55+57) : 2 = 56 Punkte

8 30 35 37 40 40 49 51 54 54 55 57 58 60 60 62 62 65 67 74 89 Berechnung der Quartile : unteres Quartil : n : 4 = 20 : 4 = 5 => Ergebnis gerade Mittelwert aus dem Wert und dem des nächst höheren Rangplatzes ist der unterer Quartilwert. q u = (40+49) : 2 = 44,5 Punkte Oberes Quartil : 20 : 4 * 3 = 15 => Ergebnis gerade Mittelwert aus dem Wert unddem des nächst höheren Rangplatzes ist der oberer Quartilwert q o = (62+62) : 2 = 62 Punkte

9 Das untere Quartil ist gleich 44.5 Punkte. Das bedeutet, dass 25% der befragten Studierenden eine Punktzahl zwischen 30 und 44.5 Punkten und weitere 25% eine Punktzahl zwischen 44.5 und 56 Punkten erreicht haben. Dieses Ergebnis kann derart interpretiert werden, dass der befragten Studierenden die besagte Prüfung eher knapp nicht bestanden haben. Das obere Quartil ist gleich 62 Punkte. Aus diesem Wert lässt sich ablesen, dass ein weiteres Viertel der Studierenden die Prüfung deutlich bestanden hat.

10 Ein Bautrupp mit 9 Personen hat folgende monatliche Einkünfte in Euro Dieser Durchschnitt liefert ein falsches Bild, weil die Mehrzahl (7 von 9 Personen) höchstens 1200 € verdient. Der Wert 6600 € zieht den Mittelwert nach oben. Der Zentralwert charakterisiert die Verteilung der Einkünfte hier besser. Ausreißer haben auf den Median keinen Einfluss.

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12 Sind Spannweite und Quartils- Abstände klein, dann ist die Gruppe ausgeglichen.