1.1.5. Der Zentralwert.

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1 Der Zentralwert

2 Der Zentralwert Schreibt man die Zensuren aus unserem Beispiel der Größe nach auf, so erhält man Der ZENTRALWERT oder MEDIAN z halbiert die der Größe nach geordnete Datenreihe. Bei gerader Anzahl der Daten ist der Median gleich dem Mittelwert der beiden mittleren Werte. In der Mitte unserer Datenreihe stehen die Zahlen 2 und 3. Der Mittelwert daraus ist 2,5. Also ist der Zentralwert in unserem Beispiel gleich 2,5.

3 Der Modalwert

4 Der Modalwert Der MODALWERT m ist der am häufigsten beobachtete Wert. Die Note 1 ist mit der absoluten Häufigkeit 4 der am häufigsten beobachtete Wert. Der Modalwert in unserem Beispiel ist 1.

5 1.1.7. Kenngrößen der Streuung um den Mittelwert

6 1.1.7. Kenngrößen der Streuung um den Mittelwert
Um die Abweichung der Werte vom arithmetischen Mittel zu erfassen, benutzt man in der Stochastik die Spannweite d und die mittlere quadratische Abweichung s2 . Die SPANNWEITE d ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten auftretenden Wert. d = xmax - xmin Für unsere Zensurenliste aus ist die Spannweite d = 6 – 1, also d = 5. Die Spannweite ist sehr stark von Ausreißern abhängig.

7 1.1.7. Kenngrößen der Streuung um den Mittelwert
Die MITTLERE QUADRATISCHE ABWEICHUNG s2 kennzeichnet die Streuung der Werte um den Mittelwert. Sie wird berechnet mit: oder Für unser Beispiel: s2 = (1-2,86)2 · 0,29 + (2-2,86)2 · 0,21 + (3-2,86)2 · 0,14 + (4-2,86)2 · 0,14 + (5-2,86)2 · 0,14 + (6-2,86)2 · 0,07 s2 = 2,67 Eine große Streuung lässt auf einen nicht geeigneten Mittelwert schließen.

8 1.1.8. Die Wahrscheinlichkeit

9 1.1.8. Die Wahrscheinlichkeit
Werden Zufallsexperimente (z.B. Würfeln) ausreichend oft durchgeführt, so nähert sich die relative Häufigkeit für ein Ereignis einem stabilen Wert. Dieser stabile Wert ist die WAHRSCHEINLICHKEIT P(E) (Empirisches Gesetz der großen Zahlen).

10 1.1.8. Die Wahrscheinlichkeit
Beispiel: Würfeln E ist das Ereignis „Es wird eine Zahl kleiner als 4 gewürfelt“ Für dieses Ereignis sind die Ergebnisse 1; 2 und 3 günstig. E = {1; 2; 3} Beim Würfeln gibt es sechs verschiedene Ergebnisse.

11 1.1.8. Die Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist immer kleiner oder gleich 1.

12 1.1.8. Die Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist immer gleich 1. Ein sicheres Ereignis ist beim Würfeln z.B. „Es wird eine Zahl kleiner als 7 gewürfelt.“.

13 1.1.8. Die Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist immer gleich 0. Ein unmögliches Ereignis ist beim Würfeln z.B. „Es wird eine Zahl größer als 6 gewürfelt.“.

14 1.1.8. Die Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E und des Gegenereignisses  beträgt zusammen immer 1. Ist E beim Würfeln das Ereignis „Es wird eine gerade Zahl gewürfelt.“, so ist  das Ereignis „Es wird eine ungerade Zahl gewürfelt.“.

15 1.1.8. Die Wahrscheinlichkeit
Sind alle Ergebnisse eines Zufallsexperimentes gleichwahrscheinlich (z.B. Würfeln), so gilt: (LAPLACE-Formel)