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1 H. Schupp, Universität des Saarlandes Fakultät für Mathematik und Informatik Symmetrie- Zusammenspiel von Freiheit und Ordnung.

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Präsentation zum Thema: "1 H. Schupp, Universität des Saarlandes Fakultät für Mathematik und Informatik Symmetrie- Zusammenspiel von Freiheit und Ordnung."—  Präsentation transkript:

1 1 H. Schupp, Universität des Saarlandes Fakultät für Mathematik und Informatik Symmetrie- Zusammenspiel von Freiheit und Ordnung Formen, Vorkommen, Zustandekommen Vortrag in der Alten Schmelz 66, St. Ingbert am

2 2 Gliederung: 1 Achsen- und Ebenensymmetrie

3 3 2 Drehsymmetrie

4 4 3 Schubsymmetrie

5 5 4 Paddelsymmetrie

6 6 5 Strecksymmetrie

7 7 6 Schraubsymmetrie

8 8 7 Spiralsymmetrie

9 9 8 Fraktalsymmetrie

10 10 1 Achsen- und Ebenensymmetrie Eine ebene Figur heißt achsensymmetrisch, wenn es eine Gerade gibt derart, dass die Figur bei Spiegelung an ihr auf sich übergeht.

11 11

12 12 Eine räumliche Figur heißt ebenensymmetrisch, wenn es eine Ebene gibt derart, dass die Figur auf sich übergeht, wenn sie an dieser Ebene gespiegelt wird. Beide Symmetrieformen sind in Natur, Technik, Kunst und Wissenschaft weitverbreitet. Schm1

13 13 2 Drehsymmetrie Eine Figur heißt drehsymmetrisch, wenn es eine Drehung gibt, die sie auf sich abbildet. Schm2

14 14 Deckabbildungen: Spiegelung an 1 und an 2, kurz: S1, S2 Drehung mit 180° um M = Punktspiegelung an M, kurz M Identität, kurz I S1 = (AC)(BD) S2 = (AB)(CD) M = (AD)(BC) I = (A) Zwischenspiel: Figurgruppe

15 15 Verkettungen: S1 ◦ S2 = M ◦IS1S2M IIS1S2M S1 IMS2 MIS1 MMS2S1I Symmetriegruppe des Rechtecks:

16 16 Deckabbildungen: Ebenenspiegelungen an den Mittenebenen E1, E2, E3. kurz S1,S2,S3 räumliche Halbdrehungen an deren Schnittgeraden d1, d2, d3, kurz h1, h2, h3 räumliche Punktspiegelung am Mittelpunkt M, kurz PM Identität I

17 17 ◦IS1S2S3h1h2h3PM IIS1S2S3h1h2h3PM S1 Ih1h3S2PMS3h2 S2 h1Ih2S1S3PMh3 S3 h3h2IPMS2S1h1 S2S1PMIh3h2S3 h2 PMS3S2h3Ih1S1 h3 S3PMS1h2h1IS2 PM h2h3h1S3S1S2I Die Mathematik studiert die unterschiedlichen Symmetrien bzw. symmetrischen Objekte anhand der zugehörigen Gruppen. mathematische Symmetrieforschung = Gruppentheorie

18 18 3 Schubsymmetrie Schm3, Schm4 Eine Figur heißt schubsymmetrisch, wenn es eine nichtidentische Verschiebung gibt, die die Figur auf sich abbildet.

19 19 Natur und Kunst, sie scheinen sich zu fliehen a Und haben sich, eh’ man es denkt, gefunden; b Der Widerwille ist auch mir verschwunden, b Und beide scheinen gleich mich anzuziehen. a Es gilt wohl nur ein redliches Bemühen! a Und wenn wir erst, in abgemessnen Stunden, b Mit Geist und Fleiß uns an die Kunst gebunden, b Mag frei Natur im Herzen wieder glühen. a So ist’s mit aller Bildung auch beschaffen. e Vergebens werden ungebundne Geister f Nach der Vollendung reiner Höhe streben. g Wer Großes will, muss sich zusammenraffen. e In der Beschränkung zeigt sich erst der Meister, f Und das Gesetz nur kann uns Freiheit geben. g Johann Wolfgang von Goethe: Natur und KunstJohann Wolfgang von Goethe

20 20 Es gibt 7 verschiedene Klassen von Bandornamenten. Sie alle kommen in der Kunst- geschichte vor. Musikalische Beispiele für Schubsymmetrien: Kanon, Fuge

21 21 4 Paddelsymmetrie Eine Figur heißt paddelsymmetrisch, wenn es eine Schubspiegelung gibt, die sie auf sich abbildet.

22 22 Verallgemeinerung Geometrie: Eine Figur heißt symmetrisch, wenn sie (als Ganzes) invariant ist gegenüber einer nichtidentischen Abbildung. Allgemein: Ein Objekt heißt symmetrisch, wenn es invariant ist gegenüber einem (tatsächlichen) Prozess. Beispiele: Ein Gegenstand ist konstant, wenn er invariant ist gegenüber der verfließenden Zeit. Naturgesetze sind invariant gegenüber Zeit- oder Raum- änderungen. In der Realität ist Symmetrie meist nur ungefähr und ansatzweise vorhanden. Nicht selten sind Symmetriebrechungen ganz bewusst beigegeben. um besondere Effekte zu erzeugen.

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24 24 5 Strecksymmetrie Eine Figur heißt strecksymmetrisch, wenn es eine nichtidentische Streckung gibt, die sie auf sich abbildet. Schm5

25 25 Häufiges Stilmittel in Architektur und Kunst (Zentralperspektive) Vereinzelt auch in Literatur und Musik Beispiele: Bolero von M. Ravel Geschichtenschachtelung

26 26 6 Schraubsymmetrie Eine Schraubung ist eine Kombination einer Drehung und einer Verschiebung (beide ≠ I), wobei Verschiebung und Drehachse parallel sind. Ein Objekt heißt schraubsymmetrisch, wenn es eine Schraubung gibt, die es auf sich abbildet.

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29 29 7 Spiralsymmetrie Beispiel(?): aufgerolltes Seil Berühmtes Beispiel: Nautilus Fruchtstand der Sonnenblume(?)

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31 31 Eine Drehstreckung setzt sich zusammen aus einer Drehung und einer zentrischen Streckung (beide ≠ I) mit demselben Zentrum. Eine (ebene) Figur heißt spiralsymmetrisch, wenn es eine Drehstreckung gibt, die sie auf sich abbildet. Eine Spiralschraubung setzt sich zusammen aus einer Drehstreckung und einer Verschiebung (≠ I) senkrecht dazu. Eine (räumliche) Figur heißt spiralschraubsymmetrisch, wenn es eine Spiralschraubung gibt, die sie auf sich abbildet.

32 32

33 33 Kugelspiralen als Linien gleicher Richtung (≠ N,S oder E,W) auf der Kugel

34 34 8 Verallgemeinerung Eine (ebene) Abbildung heißt affin, wenn sie Geraden in Geraden überführt und Teilverhältnisse invariant lässt. Alle bisher betrachteten Abbildungen sind affin. Eine affine Abbildung ist durch 3 Punkte und ihre Bildpunkte bestimmt. Beispiel:

35 35 Ein IFS ist eine Schar von affinen Abbildungen, die auf eine Aus- gangsfigur und dann fortgesetzt auf alle Bildfiguren angewendet wird. Diese Abbildungen sollen Kontraktionen sein, d.h. die Figuren jeweils verkleinern. Beispiel:

36 36 Ifsdet ifsstoch Affine Abbildung z: P(x;y) → P‘(x‘;y‘) mittels x‘ = ax + by + c y‘ = dx + ey + f Beim Farn 4 Abbildungen z1,z2,z3,z4: a b c d e f z z z z

37 37 9 Rückblick Warum ist Symmetrie in allen Bereichen so sehr verbreitet? Gründe bei von Menschen geschaffenen Produkten: Ökonomie, Nützlichkeit, Ästhetik, Ermöglichen bewußter Symmetriebrechung Gründe in der unbelebten und belebten Natur: Ökonomie, Nützlichkeit → Durchsetzungsfähigkeit Prinzip der optimalen Wirkung (Synergetik) aber auch hier asymmetrische Lösungen, wenn sie besser sind

38 38 Literatur: Genz, H.: Symmetrie – Bauplan der Natur – München Piper 1992² Du Sautoy, M.: Das Geheimnis der Symmetrie – München: DTV 2008 Hildebrandt, St.; Tromba, A.: Panoptimum – Mathematische Grund- muster des Vollkommenen – Heidelberg: Spektrum 1987 Wille, R. (Hrsg.): Symmetrie in Geistes- und Naturwissenschaft – Berlin: Springer 1988 Schupp, H. (Hrsg.): Symmetrisieren – Der Mathematikunterricht 42 (1996)

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