Prognose von Zeitreihen Hans Nübel 19.01.2011. Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 2 Aufbau 1.Motivation 2.Holt-Winters-Verfahren 3.Prognose.

Präsentation zum Thema: "Prognose von Zeitreihen Hans Nübel 19.01.2011. Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 2 Aufbau 1.Motivation 2.Holt-Winters-Verfahren 3.Prognose."—  Präsentation transkript:

1 Prognose von Zeitreihen Hans Nübel 19.01.2011

2 Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 2 Aufbau 1.Motivation 2.Holt-Winters-Verfahren 3.Prognose von stochastischen Prozessen 4.Box-Jenkins Ansatz 5.Neuronales Netz 6.Vergleich verschiedener Verfahren 7.Fazit 8.Quellenangaben

3 Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 3 1. Motivation Analyse einer Zeitreihe liefert Erkenntnisse über deren Eigenschaften Zeitreihen in vielen Bereichen vorhanden Prognosen ermöglichen oft wirtschaftliche Vorteile Beispiele: Börse, Lebensmittelhersteller

4 Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 4 Definitionen Prognose: Schätzung eines zukünftigen Wertes einer Zeitreihe auf Basis der bisherigen Werte h: Schrittweite, Prognosehorizont h-Schritt-Prognose: Schätzung für den h. Wert, der auf dem letzten beobachteten Wert folgt

5 Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 5 2. Holt-Winters-Verfahren Additives Komponentenmodell:

6 Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 6 Prognosefunktion:

7 Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 7 Bestimmung der Schätzwerte mit dem Filter der exponentiellen Glättung: 3 Parameter und müssen bestimmt werden Sie werden durch Minimierung des quadratischen Fehlers bestimmt: Für die ersten Werte ist eine Initialisierung notwendig

8 Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 8 3. Prognose von stochastischen Prozessen Stochastischer Prozess: Folge von Zufallsvariablen Gegebene Zeitreihe ist eine Realisierung der Zufallsvariablen Optimale Prognose: Problem: Berechnung der bedingten Erwartungswerte schwierig Beschränkung auf lineare Prognosen:

9 Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 9 4. Box-Jenkins-Ansatz Große Verbreitung aufgrund der von Box und Jenkins entwickelten Modellanpassung Modellanpassung von Box und Jenkins auf die Zeitreihe anwenden Ergebnis ist ein ARIMA-Modell Prognose mit Hilfe des Modells aufstellen Vorgehensweise

10 Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 10 4.1 Prognose eines MA-Prozesses (Moving-Average-Prozess) Definition: ist unbekannt und unabhängig von anderen Zufallsvariablen Erwartungswert einsetzen Problem: Die bisherigen sind unbekannt

11 Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 11 4.2 Prognose eines AR-Prozesses (Autoregressiver Prozess) Definition: Für wird wie beim MA-Prozess der Erwartungswert eingesetzt 1-Schritt-Prognose: Die Werte der direkt setzen h-Schritt-Prognosen mit h > 1: Für unbekannte Werte die Prognose einsetzen

12 Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 12 4.3 Prognose eines ARMA-Prozesses (Autoregressiver-Moving-Average-Prozess) Definition: Kombination aus den Prognose-Methoden für den MA- und AR-Prozess muss geschätzt werden: Differenz aus realisiertem Wert und 1-Schritt-Prognose:

13 Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 13 4.4 Prognose eines ARIMA-Prozesses (Autoregressiver-Integrierter-Moving-Average-Prozess) Definition: ARIMA-Modell ARMA-Modell Prognose für ARMA-Modell Prognose für ARIMA-Modell Differenzieren Prognoseverfahren für ARMA-Modell anwenden Summieren

14 Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 14 5. Neuronales Netz Input-Schicht: Beobachtete Werte werden angesetzt Ausgabeschicht: Liefert die Prognose Netz wird im Trainingsmodus trainiert Schlittgen 1994, S. 445

15 Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 15 6. Vergleich verschiedener Verfahren

16 Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 16 Monatliche Anzahl der Passagiere einer Fluggesellschaft von Januar 1949 bis Dezember 1960 (Ausschnitt) Durchschnittlicher relativer Fehler der letzten 50 1-Schritt- Prognosen: Durchschnittlicher relativer Fehler: Prognose- methode Neuronales NetzBox-JenkinsHolt-Winters Rel. Fehler4,16 %3,85 %3,26 %

17 Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 17 7. Fazit Vor dem Aufstellen einer Prognose: Analyse der Zeitreihe Prognoseverfahren hängt vom Anwendungsfall ab VerfahrenVorteileNachteile Holt- Winters Am einfachsten Schnell implementierbar Optimierung nur über die Parameter möglich Box-JenkinsOft sehr gut Weit verbreitet Aufwändige Modellschätzung nötig Neuronale Netze Sehr flexibel Die größten Verbesserungs- möglichkeiten Netz muss erstellt und trainiert werden

18 Hans Nübel Prognose von Zeitreihen 19.01.2011 18 8. Quellenangaben Neusser, Klaus: Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissen- schaften, B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Reißel, Martin: Numerik 1, Skript zur Vorlesung Numerik 1 an der FH Aachen, 16. Juni 2009 Schlittgen, Rainer und Streitberg, Bernd: Zeitreihenanalyse, 5. Auflage, R. Oldenbourg Verlag GmbH, München 1994

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