Pyramide im Würfel Grafischer Beweis für die Formel des Volumens einer Pyramide.

Präsentation zum Thema: "Pyramide im Würfel Grafischer Beweis für die Formel des Volumens einer Pyramide."—  Präsentation transkript:

1 Pyramide im Würfel Grafischer Beweis für die Formel des Volumens einer Pyramide

2 Pyramide im Würfel Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten „a“.

3 Pyramide im Würfel Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten „a“. Eine Pyramide mit der selben Grundfläche wie der Würfel, also „a * a“ und der Höhe „a“ ist in den Würfel gestellt. Die Spitze ist die hintere, obere Ecke des Würfels.

4 Pyramide im Würfel Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten „a“. Eine Pyramide mit der selben Grundfläche wie der Würfel, also „a * a“ und der Höhe „a“ ist in den Würfel gestellt. Die Spitze ist die hintere, obere Ecke des Würfels. Eine 2. Pyramide mit der Grundfläche der linken Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ….

5 Pyramide im Würfel Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten „a“. Eine Pyramide mit der selben Grundfläche wie der Würfel, also „a * a“ und der Höhe „a“ ist in den Würfel gestellt. Die Spitze ist die hintere, obere Ecke des Würfels. Eine 2. Pyramide mit der Grundfläche der linken Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird seitlich zur 1. Pyramide geschoben, bis ….

6 Pyramide im Würfel Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten „a“. Eine Pyramide mit der selben Grundfläche wie der Würfel, also „a * a“ und der Höhe „a“ ist in den Würfel gestellt. Die Spitze ist die hintere, obere Ecke des Würfels. Eine 2. Pyramide mit der Grundfläche der linken Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird seitlich zur 1. Pyramide geschoben, bis diese innerhalb der Würfelkontur Platz hat.

7 Pyramide im Würfel Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge-fügt, …

8 Pyramide im Würfel Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge-fügt, bis diese …..

9 Pyramide im Würfel Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge-fügt, bis diese innerhalb der Würfelkonturen Platz hat.

10 Pyramide im Würfel Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge-fügt, bis diese innerhalb der Würfelkonturen Platz hat. Wenn alle drei Pyramiden in dem Würfel mit dem Volumen a * a * a Platz haben, hat jede Pyramide 1/3 Volumen des Würfels. Für beide geometrischen Körper gilt: Grundfläche A = a * a und die Höhe h = a.

11 Pyramide im Würfel Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge-fügt, bis diese innerhalb der Würfelkonturen Platz hat. Somit ist die Formel des Volumens der Pyramide mit bewiesen.

12 Pyramide im Würfel Beim Würfel war die Be-weisführung sehr klar und einfach. Wie sieht es nun beim Quader und bei unregel-mäßigen Pyramiden aus? Jede Pyramide hat eine andere Grundfläche und Höhe.

13 Pyramide im Würfel Der Quader hat drei Seitenkanten: a = 6cm b = 9cm
c = 3cm Vquad= a * b * c = 6 * 9 * 3 = = 162 cm³

14 Pyramide im Würfel Die 1. Pyramide hat mit dem Quader die selbe
Grundfläche. Grundfläche A = a * b und die Höhe h = c Pyramide 1: V = a * b * c / 3 = 6 * 9 * 3 / 3 = 54 cm³

15 Pyramide im Würfel Bei der 2. Pyramide ist die Grundfläche die linke Seitenfläche des Quaders. Grundfläche A = a * c und die Höhe h = b Pyramide 1: V = a * b * c / 3 = 6 * 9 * 3 / 3 = 54 cm³ Pyramide 2: V = a * c * b / 3 = 6 * 3 * 9 / 3 = 54 cm³

16 Pyramide im Würfel Bei der 3. Pyramide ist die Grundfläche die vordere Seitenfläche des Quaders. Grundfläche A = b * c und die Höhe h = a Pyramide 1: V = a * b * c / 3 = 6 * 9 * 3 / 3 = 54 cm³ Pyramide 2: V = a * c * b / 3 = 6 * 3 * 9 / 3 = 54 cm³ Pyramide 3: V = b * c * a / 3 = 9 * 3 * 6 / 3 = 54 cm³

17 Pyramide im Würfel Alle drei Pyramiden sind im Quader eingefügt.
Pyramide 1: V = a * b * c / 3 = 6 * 9 * 3 / 3 = 54 cm³ Pyramide 2: V = a * c * b / 3 = 6 * 3 * 9 / 3 = 54 cm³ Pyramide 3: V = b * c * a / 3 = 9 * 3 * 6 / 3 = 54 cm³ Quader : Vquad = 162 cm³ Pyramide: Vquad / 3 = 162 / 3 = 54 cm³ Die Kurzform dieser Erklärung ist als PDF-Datei zum Herunterladen bereit

18 Danke für´s Mitdenken! Euer Pyramide im Würfel