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Statistische Methoden II SS 2008 Vorlesung:Prof. Dr. Michael Schürmann Zeit:Freitag 10.00 - 12.30 (Pause: 11.30 - 11.45) Ort:Hörsaal Makarenkostraße (Kiste) Übungen Gruppe 2: Henrike Berg Di 8.00 - 10.00 SR 222 Gruppe 1: Hermann Haase Di 10.00 - 12.00 SR 222 Gruppe 5: Svenja Schützhold Di 12.00 - 14.00 SR 222 Gruppe 7: Sebastian Grapenthin Di 14:00 - 16:00 HS 11 Gruppe 8: Svenja Schützhold Di 16:00 -1 8:00 SR 5 Gruppe 4: Sabine Storandt Mi 8.00 - 10.00 SR 222 Gruppe 3: Hermann Haase Mi 10.00 - 12.00 SR 222 Gruppe 6: Sebastian Grapenthin Mi 12.00 - 14.00 SR 3 SR 222 : Fleischmannstraße 6 SR 3 + 5 : Loefflerstraße 70 HS 11 : Domstraße 9a (Hist. Institut)
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Die Vorlesung am 2. Mai wird verlegt! Die Vorlesung findet am Mittwoch, 30.4. von 14 bis 16 Uhr im Hörsaal Makarenkostraße statt.
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Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird ein Intervall C( ) der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 -
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Tschebyschev Die Ungleichung von Tschebyschev
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Niveau klein Das Niveau wird klein gewählt. (Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1) Zusammenhang Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter Die Intervallbreite soll möglichst gering sein.
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Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von
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Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man
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Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei
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In unserem Beispiel: Bei einem Niveau von = 0.05 ist 1 - /2 = 0.975. Es ergibt sich: und
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Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung
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Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung
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Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen 572 1428
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Der Zentrale Grenzwertsatz
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Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I Konfidenzintervall zum Niveau
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Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachung für großes n (n 100)
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Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt von Parameter n ab!
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Die Chi-Quadrat-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante c ist dabei: : Gamma-Funktion
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Die Student- oder t-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!
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Die Student- oder t-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante d ist dabei:
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unabhängige Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man: Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung
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unabhängige Für unabhängige Zufallsvariablen W und U mit hat man: Mathematische Bedeutung der t-Verteilung
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Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung)
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Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung
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Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung
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Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung
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Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung
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Übersicht I Konfidenzintervalle für den Erwartungswert
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Übersicht II Konfidenzintervalle für die Varianz
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Rechenbeispiel Stichprobe vom Umfang n = 5 3.5 7.2 5.0 4.3 7.9 Stichprobenfunktionen
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Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung
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Fehler: 0,831
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Fehler: 0,831
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Fehler: 0,831
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Fehler: 0,831
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Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 1.Fall 2.Fall 3.Fall
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6.Fall 18.28 5.Fall 4.Fall
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Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
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Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!! 2.Fall 5.Fall
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