Unternehmensfinanzierung Wintersemester 2011/12 Prof. Dr. Alfred Luhmer II. Wertvergleich von Zahlungsströmen durch Diskontierung Gegenwartswerte und Zukunftswerte – Kalkulationszinsfuß Bewertung konstanter Zahlungsströme: Annuitäten und ewige Renten Renditen Unterjährige und kontinuierliche Verzinsung Darlehenstypen verschiedener Amortisationsstruktur 1

Annahmen über den Kapitalmarkt Der Kapitalmarkt ist 1.vollständig und liquide d.h. beliebige Zahlungsströme sind handelbar, für jede Nachfrage und jedes Angebot findet sich jederzeit ein Marktpartner, der zum Marktpreis verkauft bzw. kauft. 2.vollkommen Transaktionskosten, Bonitätsprobleme und persönliche Präferenzen spielen keine Rolle das Marktentgelt für 1.eine Zahlung ist proportional zum Betrag 2.ein Bündel von Zahlungen ist gleich der Summe der Marktentgelte für die einzelnen Zahlungen 2

Zeitwert des Geldes Der Wert einer Zahlung von bestimmtem Betrag ist umso geringer, je weiter der Zahlungszeitpunkt in der Zukunft liegt. Man kann am heutigen Kapitalmarkt in zukünftigen Zeitpunkten fällige Beträge gegen bar kaufen und verkaufen. Beispiel: Man verkauft heute 1000 RON fällig zum Zeitpunkt t und erhält dafür 1000 R t bar. Dafür kauft man Geld fällig in t + 1. Je Einheit zahlt man heute R t+1. 0 t t R t R t / R t+1 3

Forward-Zinssatz 0 t t R t R t / R t+1 Im Effekt (roter Pfeil) hat man also in t 1000 RON verkauft und erhält dafür in t + 1: 1000 R t / R t+1 Das ist gleichbedeutend mit einer Anlagerendite (siehe Vorlesung 1 Folie 22) von Man kann also auf dem heutigen Kapitalmarkt (Terminmarkt) – praktisch nicht für beliebige Zeitpunkte – schon Kreditgeschäfte für zukünftige Zeiten abschließen; r t ist der Zinssatz für Kredite von t bis t+1 und wird als Forward-Zinssatz für Periode t auf dem heutigen Markt bezeichnet. 4

Vereinfachende Annahmen 1.Zahlungen erfolgen nur zu ganzzahligen Zeitpunkten t. Die Periodenlänge beträgt ein Jahr oder ist kürzer, so dass ein Jahr aus einer ganzzahligen Anzahl von Perioden besteht. 2.Die einperiodigen Forwardzinssätze r t sind konstant, d.h. R t / R t+1 – 1 = r für alle t. r wird als Diskontrate bezeichnet; es gilt R 1 heißt auch Diskontfaktor. 3.Alle Zahlungen sind nach Betrag und Zeitpunkt sicher. 5

Barwert, Zukunftswert Zahlungsreihe: z 0, z 1, …, z T Zahlung des Betrags z t erfolgt zum Zeitpunkt t. Diskontierungszinsfuß: r; R = 1/(1 + r) Gegenwartswert (Barwert) im Zeitpunkt 0: Zukunftswert im Zeitpunkt T : 6

Beispiel 1 Die Anleihe von Griechenland (WKN A1ASOK) läuft bis 20. August 2015 und hat einen 6.10% Kupon (fällig 20. August). Bekanntlich sind Zins- und Rückzahlungsan- sprüche von Staatsanleihen sicher. Der Marktzinssatz für sichere Anlagen betrage 3% pro Jahr. Wie hoch ist der Gegenwartswert von nominal dieser Anleihe am 20. August 2011 (ex Kupon)? 7

Lösung Zahlungsstrom: Berechnung mit einfachem Taschenrechner: 0. Den Diskontfaktor R 1 in den Speicher eingeben 1. die letzte Zahlung eingeben 2. RM (mit dem Diskontfaktor aus dem Speicher multiplizieren) 3. addieren der nächsten Zahlung, = drücken Schritte 2 und 3 wiederholen bis alle Zahlungen berücksichtigt sind. Im Beispiel: 1/1.03 = Speicher; 1061 * RM = + 61 * RM = + 61 * RM = + 61 * RM = Im Effekt: (((1061/ )/ )/ )/1.03 =

Beispiel 2 Ioanas Vater hatte im Gründungsjahr 1995 ein Darlehen im Wert von 2 mill. RON aufgenommen, das Ende 2013 in einem Betrag zurückzuzahlen und bis dahin mit 6% jährlich zu verzinsen ist, Zinsen zahlbar zum Jahresende. Ioana hat keinen Zugang zum Kapitalmarkt. Im Rahmen eines Existenzgründerförderprogramm kann sie Mittel für die Zins- und Tilgungszahlungen aufnehmen, rückzahlbar zuzüglich 4% p.a. Zinseszinsen zum Ende Ihr Bankkonto, aus dem sie die Darlehenszinsen bezahlen muss, wenn sie die Mittel aus dem Förderprogramm nicht in Anspruch nimmt, weist dauerhaft Schuldsalden auf, die Bankzinsen betragen 10%. 1.Welchen Wert hat das Existenzgründerprogramm für Ioana per Ende 2013? 2.Angenommen nun, der Darlehensgeber ist bereit, eine sofortige Ablösung hinzunehmen. Auch das würde das Förderprogramm zu den obigen Bedingungen finanzieren. Wie hoch ist für Ioana die Obergrenze für die Ablösesumme? 10

Kapitalkosten Jede Einzahlung, die Ioana erhält entlastet ihr Bankkonto, jede Zahlung die sie leisten muss, erhöht ihren Schuldsaldo, den sie mit 10% verzinsen muss. Ihr Kapitalkostensatz beträgt als 10%; mit diesem Satz wird sie die künftigen Zahlungen diskontieren. zu 1: Abgesehen von der Möglichkeit der Ablösung ist die Zahlungsreihe, die ihr das Existenzgründerprogramm gewährt, die folgende: % von 2 mill. 6% von 2 mill.106% von 2 mill. = = = Zu Vergleichszwecken berechnen wir die Auswirkungen auf den Stand des Bankkontos per Ende (Zukunftswert) Der Zukunftswert der Zahlungen zum Kalkulationszinsfuß beträgt: ² = Diesen Zukunftswert tauscht sie ein gegen die Zahlung die sie Ende 2013 an das Existenzgründerprogramm leisten muss: ² = Der Wert des Förderprogramms per Ende 2013 beträgt also:

…zu 2. Wenn Ioana das Darlehen Ende 2011 ablöst, wird die Bank eine Vorfälligkeitsentschädigung verlangen. Die Frage ist, wie hoch der Ablösebetrag x maximal sein darf, damit Ioanas Bankkonto Ende 2013 keinen höheren Schuldsaldo aufweist als wenn sie Zins und Tilgung aus dem Förderprogramm finanziert, ohne das Darlehen abzulösen. Bei Ablösung zahlt Ioana Ende 2013 an das Förderprogramm: 1.04² ( x ) das Förderprogramm finanziert wie bisher auch die Zinszahlung zum Ende von 2011 Der Betrag von 1.04² ( x ) tritt bei Ablösung an die Stelle der Zahlung von an das Förderprogramm, wenn das Bankdarlehen nicht abgelöst wird. Es gilt also: x = / 1.04² x = Die Vorfälligkeitsentschädigung darf also RON nicht übersteigen, wenn die Ablösung vorteilhaft sein soll. 12

Berechnung mit Tabellenkalkulation NBW( r ; z 1 ; z 2 ; …; z T ) = hierbei wird schon z 1 abgezinst. Soll das vermieden werden, ist das Ergebnis mit (1 + r ) zu multiplizieren Der Zukunftswert zum Zeitpunkt T ergibt sich als NBW(…)*(1 + r)^T Für regelmäßig erfolgende gleichmäßige Zahlungen gibt es weitere Funktionen. 13

Regelmäßige konstante Zahlungen Annuitäten gewöhnlich: Zahlungen erfolgen am Periodenende falls Zahlung am Periodenanfang: annuity due Sonderfall unbefristet: Ewige Rente Barwert: Mathematik: Bestimmung der Summe R + R² + … + R T – R² – R³ – …– R T – R T+1 R – R T+1 = (1 – R) (R + R² +…+ R T ) 14

Rentenbarwert (nachschüssig) Diskontrate r ; Diskontfaktor: R := 1/(1+ r ) T jährliche Zahlungen z Grenzfall ewige Rente: T also W 0 = z/r 15

Rentenbarwert (vorschüssig) Ist der Betrag z jeweils am Periodenanfang fällig, so ist der Barwert V 0 der Rente gleich dem Barwert der nachschüssigen Rente plus einer Zahlung in Höhe von z im Zeitpunkt t = 0. Die zu einer nachschüssigen Rente von z N äquivalente vorschüssige Rentenhöhe z V ergibt sich folglich aus: 16

Ewige Renten? Gibt es dergleichen in der Praxis? der britische Schatzkanzler hat 1752 tatsächlich etwas ähnliches eingeführt, um die aus dem Krieg gegen Frankreich resultierenden Staatsschulden zu konsolidieren. Daher heißen diese Papiere Consols. Allerdings war die Bedingung, dass das Parlament den Rückkauf zum Nennwert beschließen konnte. Da der Zins sehr niedrig ist, besteht daran aber kaum Interesse.1752 Stiftungen sind kein gutes Beispiel. Hier gibt es meist ein Finanzmanagement, das versucht, die Mittel so anzulegen, dass die ausgelobte Leistung nicht von der Inflation ausgehöhlt wird. 17

Der amerikanische Hauskäufer Ein Arbeiter bei GM hat $ gespart und will ein Haus kaufen. Er verdient $ im Jahr und die Bank bietet ihm ein Hypothekendarlehen mit 6% p.a. Festzinszusage (Zinszuschreibung monatlich, d.h. 0.5% Zinseszins pro Monat) auf 30 Jahre. Tilgung und Verzinsung sollen in monatlichen Raten von bis zu 28% des Monatseinkommens erfolgen. Zusätzlich behält die Bank eine Bearbeitungsgebühr (Disagio) von 4% des Darlehensbetrages ein. 1.Wieviel wird ihm die Bank maximal leihen? 2.Was bleibt ihm für den Hauskauf übrig? 18

Lösung Monatseinkommen: /12 = davon 28% = 840 (Monatliche Rate für Zins und Tilgung) es sind 30 mal 12 = 360 Raten. Darlehenshöhe = Barwert der Annuität zu 6%: Bearbeitungsgebühr: zu 1. Auszahlung: – = zu 2. Verfügbare Mittel: =

…mit Tabellenkalkulation r = Jahreszins n = Zahlungszeitpunkte pro Jahr, T = Dauer in Jahren 1/ n = Kontoabschlussperiode F = 1 bei vorschüssiger, F = 0 bei nachschüssiger Zahlung Barwert = BW(r/n; n*T; z; 0; F) Im Beispiel: BW(0,006; 360; 840; 0; 0) 20

Beispiel 3 Ioana überlegt, eine neue Verpackungsmaschine zu leasen. Die Vertragsdauer ist 5 Jahre, danach gehört die Maschine ihr. Der Barpreis der Maschine ist RON. Die Leasinggesellschaft rechnet mit einem Kalkulations- zinssatz von 8% p.a. und verlangt monatliche Raten bei monatlichem Kontoabschluss. Wie hoch ist die monatliche Leasingrate? Ansatz: Lösung der Barwertgleichung nach der unbekannten Teilzahlung. Excel®-Funktion: RMZ(r/n; n*T;BW;0,0) 21

Beispiel 4 Ioana glaubt, sie kann sich höchstens eine monatliche Teilzahlung von 1200 RON leisten. Sie möchte daher den Leasingvertrag zeitlich strecken. Die Leasinggesellschaft hat nichts dagegen, weil die Verpackungsmaschine auch nach zehn Jahren noch einen erheblichen Restwert hat. Wie lange muss Ioana die Maschine abstottern, wenn sie nur 1200 RON monatlich erübrigen kann? Ansatz: Lösung der Barwertgleichung nach T. Excel-Funktion: ZZR( r/n; z ; W 0 ; 0;0) 22

Effektivrendite Beispiel 1 : Am betrug der Kurs 54%. Wie hoch war die die Rendite r ? Beispiel 1 Ansatz: Lösen der Wertgleichung nach r. das geht nicht in geschlossener Form, man muss probieren. Excel®-Funktion: IKV(Z;Schätzwert) Z = ein Zellenbereich, in dem die Zahlungen stehen. oder (speziell für Annuitäten mit Abschlusszahlung ZW): Zins(T;z;-W 0 ;ZW;0) Für Beispiel 1: Zins(4;6,1;-54;100;0) = % 23

Interne Rendite Definition: Die Diskontierungsrate, bei der der Barwert der ausstehenden Zahlungen gleich dem Investitionsbetrag wird. Graph der Funktionen -BW(r;4;6,1; 100;0) – 54 (Griechenlandanleihe) und -BW(r;4;3,25;100;0) – 108,245 (Bundesanleihe ) 24

Idee Auf dem vollkommenen Kapitalmarkt kann der Barwert sich nicht vom Kaufpreis P des Zahlungsstroms unterscheiden. Deshalb muss die Marktrendite r des Zahlungsstroms die Gleichung BW ( r;T;z;ZW ; 0 ) = P erfüllen Die Marktrendite ist je höher desto größer der Markt das Risiko einschätzt. Bei den zu diskontierenden Zahlen handelt es sich nicht um Erwartungswerte, sondern um kontraktbestimmte Zahlungen. In hohen Renditen kommt eine Risikoanpassung zum Ausdruck. Leider beobachtet man am Markt verschieden hohe Renditen für verschiedene Laufzeiten, sonst hätte man eine Methode, Sicherheitsäquivalente für die kontraktbestimmten Zahlungen z t, fällig in t Jahren, zu bestimmen: SÄ ( z t ) = z t (1 + r 0 ) t /(1 + r ) t ; ( r 0 = Zinssatz für risikofreie Anlagen). Für den Schuldner ist die Rendite ein approximatives Maß der Fremdkapitalkosten für Umschichtungen im Sinne einer einzuräumenden konstanten jährlichen Verzinsung über die Laufzeit 25

Unterjährige Verzinsung Erfolgt der Zinsabschluss regelmäßig nach einer kürzeren Periode als nach einem Jahr, (z.B. 100 x % monatliche Zinseszinsen bei Ratenkaufverträgen), so gilt für den effektiven Jahreszinssatz r : 1 + r = (1 + x) 12 Beispiel: x = 1% ; r = % Grenzfall: Kontinuierliche Verzinsung Anfang des Jahres beträgt der Schuldenstand 1, dann beträgt der Schuldenstand (ohne Umsätze) am Jahresende Für den kontinuierlichen Zinssatz x, auch Zinsenergie genannt, ist die Bezeichnung (rho) üblich. 26

Darlehenstypen Endtilgung, Zinsen werden am Jahresende bezahlt (Beispiel Coupon-Anleihe); Betrag: z T Bewertung als Annuität + Endzahlung bei unterjähriger Zinszahlung sind T, R und r entsprechend anzupassen (Vorlesung 1, S. 33). Tilgung in gleichen Raten, Zins auf Restschuld anders: Beispiel 3Beispiel 3 Wie würde man eine Abschlusszahlung behandeln? 27

Darlehen mit Zins- und regelmäßiger fester Tilgungszahlung RON werden auf 10 Jahre ausgeliehen, Zinssatz 8%, zu jedem Jahresende sind die Zinsen und eine Tilgung von 5000 RON fällig. Anfangs-Zins-Tilgungs-Gesamt-End-Zins:8% JahrKontostandzahlung Kontostand

Zusammenfassung Kernpunkt der Vorlesung: Die Rentenbarwertformel für nachschüssige Annuitäten mit Abschlusszahlung z T : Kann nach verschiedenen Parametern aufgelöst werden: direkt durch Umstellen nach z T oder nach z, durch Umstellen, Ziehen der T -ten Wurzel und anschließendes Logarithmieren nach T. (S. 22)S. 22 nur numerisch durch Näherungsrechnung nach r. Aufg2. xlsm Aufg2. xlsm 29

Übungsaufgaben 1.Angenommen, Sie haben am nominal 1000 der Griechenlandanleihe (s. Seite 7) gekauft, als der Marktzins 10% betrug. a.Was mussten Sie bezahlen (ohne Gebühren) b.Angenommen, unmittelbar danach kommt plötzlich die Nachricht, EFSF steht für die Anleihe ein und der Marktzins sinkt plötzlich auf 5%. Wie hoch ist Ihr sofortiger Gewinn? c.Angenommen nun, die Nachricht ist statt der in b. beschriebenen, dass die Deutschen sich weigern, so dass der Marktzins auf 15% steigt. Was ist die Anleihe nun noch wert? 30

Übungsaufgaben 2.Der Barwert des Zahlungsstroms ist 5979 RON bei einem Zinssatz von 10% jährlich. Wie groß ist die fehlende Zahlung? (Zahlungen erfolgen jeweils zum Jahresende) 3.Eine Schiffswerft hat den Auftrag für 115 Billionen Won ein Schiff zu bauen. Es soll in 3 Jahren geliefert werden; der Barwert der Produktionskosten zu einem Kalkulationszins von 12% beträgt 72 Billionen Won. a.Wird die Werft einen Gewinn machen? b.Bei welchem Kalkulationszinsfuß würde sie gerade ohne Gewinn und Verlust herauskommen? 31

Übungsaufgaben 4.Ein Vater hat in der Lotterie gewonnen und verspricht seinem 10-jährigen Sohn eine monatliche Unterhaltsbeihilfe in Höhe von 1000 RON für 5 Jahre, wenn er in acht Jahren ein Physikstudium aufnimmt. Eine Bank bietet Ausbildungssparen zu 6% Zinsen an. Auf das jeweilige Guthaben gibt es 0.5% Zinsen pro Monat (monatliche Abrechnung). a.Wieviel von seinem Gewinn muss er jetzt einzahlen, um sein Versprechen aus dem Konto bestreiten zu können? b.Wieviel müsste er 3 bzw. 5 Jahre später einzahlen? 32

Übungsaufgaben 5.Ein Geldverleiher verlangt 3% Bearbeitungs- gebühr für die Kreditprüfung (fällig bei Dar- lehensauszahlung) und 10% Zinsen pro Jahr. Wie hoch ist der wirkliche Jahreszins bei einer Laufzeit des Kredits von a.einem b.drei Jahren, wenn die Zinsen jeweils am Jahresende fällig sind? 33