STATISIK LV Nr.: 1375 SS 2005 15. März 2005

Konfidenzintervall Ausgehend von dem Ergebnis einer Stichprobe wird ein Intervall angegeben, in dem der zu schätzende Parameter der Grundgesamtheit mit einer bestimmten vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (1-α) liegt.

Konfidenzintervall Bsp. Arithmetisches Mittel (ist bei N-Vt. Grundgesamtheit bzw. bei genügend großem Stichprobenumfang N-Vt.). Der wahre Parameter µ liegt mit der Wahrscheinlichkeit (1-α) im Intervall

Konfidenzintervall

Konfidenzintervall Bsp. Körpergröße: KI [61,7 ≤ µ ≤ 69,7] Mittelwert = 65,7 Standardabweichung = 12,5 N = 38 2-seitiges KI zum Niveau α=0,05 Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Parameter im KI liegt ist 0,95. Quantile: z=1,96 KI [61,7 ≤ µ ≤ 69,7]

Statistische Tests Fragen: Besteht ein Zusammenhang zw. dem Geschlecht und dem Rauchverhalten? Ist der Ausschussanteil kleiner als 5%? Ist die mittlere Länge eines Werkstücks, das von zwei verschiedenen Maschinen hergestellt wird, gleich? Soll ein neues Medikament zugelassen werden? Stammen Daten aus einer N-Vt Grundgesamtheit? …

Statistische Tests Deskriptive Analyse der Daten Lage- und Streuungsmassen Kontingenztafeln Korrelationsmaße Verteilungsdiagramme … Statistischer Test, um eine theoretisch abgesicherte Entscheidung zu treffen.

Deskriptive Analyse: Box-Plot Box-Plot: grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

Deskriptive Analyse: Box-Plot Box: beinhaltet 50% der Daten (Grenzen: 1. und 3. Quartil), Darstellung des Medians. Whiskers: maximal 1,5-mal die Länge der Box. Ausreißer: Werte außerhalb der Whiskers. Ausreißer Krasse Ausreißer

Deskriptive Analyse: Box-Plot Box-Plot für Vergleich von 2 Messreihen:

Statistische Tests Einführung: Testen von Hypothesen (Annahmen, Behauptungen) Statistischer Test: Verfahren, mit dessen Hilfe sich bestimmte Hypothesen auf ihre Richtigkeit hin überprüfen lassen. Statistische Testverfahren basieren auf Stichprobentheorie

Statistische Tests Einführung: Ziel: Richtigkeit von Aussagen über die Verteilung einer Zufallsvariablen überprüfen. Entscheidungsgrundlage: Ergebnis eines zufälligen Vorgangs. Daher: Entscheidungen nicht immer richtig Aber: Beim Vorliegen einiger der möglichen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit falsch zu entscheiden beschränkt.

Statistische Tests: Hypothesen Annahmen, Behauptungen, Aussagen über unbekannte Grundgesamtheit 2 Arten von Hypothesen: Parameterhypothesen, Überprüfung durch Parametertests Verteilungshypothesen, Überprüfung durch Verteilungstests

Statistische Tests: Hypothesen Formulierung von Hypothesen: Nullhypothese H0 (Ausgangshypothese) Alternativhypothese H1 (Gegenhypothese)

Statistische Tests: Hypothesen Bsp. Anteile: H0: Ausschussanteil = 10% H1: Ausschussanteil > 10% Mittelwerte: H0: Mittlere Länge eines Werkstücks = 5cm H1: Mittlere Länge eines Werkstücks  5cm Gruppenvergleich: H0: Gruppe 1 und Gruppe 2 sind gleich H1: Gruppe 1 und Gruppe 2 sind ungleich

Statistische Tests Entscheidung für H0 oder H1 basiert auf einer Stichprobe x1,…,xn Wahrscheinlichkeitsaussage ob H0 zutrifft oder nicht. Frage: H0 ablehnen (verwerfen) oder H0 nicht ablehnen?

Statistische Tests Mögliche Fehlentscheidungen: Fehler 1. Art (α-Fehler): obwohl H0 korrekt ist wird H0 abgelehnt Fehler 2. Art (β-Fehler): obwohl H0 falsch ist wird H0 nicht abgelehnt.

Richtige Entscheidung Statistische Tests Fehlentscheidungen Trifft zu Entscheidung H0 H1 Richtige Entscheidung Fehler 2. Art (β -Fehler) Fehler 1. Art (α-Fehler)

Statistische Tests Problem bei Fehlentscheidungen: Falsche Entscheidung Man weiß nicht, ob man in einer konkreten Situation einen Fehler macht, sondern nur welcher Art dieser ist.

Statistische Tests Signifikanzniveau eines Tests α: Die Wahrscheinlichkeit eine Fehler 1. Art zu machen ist höchstens α, daher „Test zum Niveau α“ - egal mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Fehler 2. Art begangen wird.

Statistische Tests Trifft H0 zu und entscheidet man sich für H1, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei einen Fehler zu machen ≤ α (α bekannt, wird festgelegt). Trifft H1 zu und entscheidet man sich für H0, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei eine Fehler zu machen = β (β unbekannt).

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Statistische Tests D.h. durch Festlegen des α-Niveaus ist nur die Entscheidung für H1 abgesichert. Bei Entscheidung für H1: H1 ist richtig, H1 ist falsch, ich mache einen Fehler mit Wahrscheinlichkeit ≤ α. Daher: Formuliere H0 so, dass sie abgelehnt werden soll. bzw. in H0 soll diejenige Annahme festgelegt werden, der die größere Bedeutung zukommt.

Statistische Tests Bsp. Medikamententest H0: Medikament ist nicht wirksam gegen H1: Medikament wirkt. Fehler 1. Art: das Medikament wirkt nicht, man glaubt aber dass es wirkt Fehler 2. Art: das Medikament wirkt, man glaubt aber dass es unwirksam ist. Wähle α=0,01 (sehr klein), da Risiko ein nichtwirksames Medikament als wirksam einzustufen sehr groß ist.

Statistische Tests Arten von Hypothesen: Einseitige Hypothesen H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0 H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0 Zweiseitige Hypothesen H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0 Verteilungshypothesen: H0: bestimmten Vt. gegen H1: nicht diese Vt.

Statistische Tests Arten von Testproblemen: Einseitige Testprobleme Tests für einseitige Hypothesen Zweiseitige Testprobleme Tests für zweiseitige Hypothesen Anpassungstests Test für Verteilungshypothesen

Statistische Tests Gütefunktion oder Macht g(θ): Wahrscheinlichkeit sich für H1 zu entscheiden, falls θ der wahre Parameter ist. Test zum Niveau α: g(θ) ≤ α für alle θ  H0 g(θ) ≥ α für alle θ  H1 Ist θ  H1, ist 1-g(θ) Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. Funktion 1-g(θ) heißt Operationscharakteristik (OC)

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Statistische Tests Trennschärfe eines Tests: Steilheit der OC Kurve 1-g(θ) Es gilt: Je größer die Stichprobe umso besser die Trennschärfe.

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