Wahrscheinlichkeit Zufallsexperiment: Stringenz der Definition (insb. alle möglichen Ausgänge bekannt) Wiederholbarkeit (potentiell unendlich oft) Unabhängigkeit des Ausgangs eines ZE von früheren Ausgängen des ZE Empirische Definition von Wahrscheinlichkeit (empirisches. Gesetz der großen Zahlen) Achtung: d.h. nicht, dass Die Differenz zwischen der Anzahl des tatsächlichen Auftretens und der des zu erwartenden Auftretens von x ( = nP(x)) kann bei wachsendem n durchaus beliebig groß werden!
Klassische Definition von Wahrscheinlichkeit (vorausgesetzt, die Chance für das Auftreten jedes möglichen Falles ist immer dieselbe) Beispiel: Wie groß ist die Ws, dass bei 5 Würfen genau dreimal eine 6 gewürfelt wird? Anzahl der möglichen Fälle: 6x6x6x6x6 = 7776 Anzahl der günstigen Fälle: (6,6,6,*,*) (6,6,*,6,*), (6,6,*,*,6) (6,*,6,6,*), (6,*,6,*,6), (6,*,*,6,6) (*,6,6,6,*), (*,6,6,*,6), (*,6,*,6,6) (*,*,6,6,6) 10x25 = 250 P(x) = 250/7776 = 0,03
Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit = {x1, x2,..., xn} sei eine endliche Menge (Menge der Elementarereignisse (ZE-Ausgänge)) P sei eine Funktion von mit Werten zwischen 0 und 1, die folgende Eigenschaft besitzt: heißt endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und die Funktion P Wahrscheinlichkeitsmaß oder Wahrscheinlichkeitsverteilung. ACHTUNG: In der Literatur findet sich meist eine verallgemeinerungfähigere Definition, wobei auch unendlich sein kann; P ist nicht auf , sondern auf allen Teilmengen von mit Werten zwischen 0 und 1 definiert und besitzt folgende Eigenschaften: In unserer Definition müsste P eigentlich auf den Mengen {xi} statt auf den Elementen xi definiert werden. Beispiel: = {x1, x2}, P(x1) = P(x2) = ½ x1 ist das Ereignis Münze zeigt Zahl x2 ist das Ereignis Münze zeigt Wappen
Zufallsvariable (ZV) Definition: ZV X ist eine Funktion von einem Wahrscheinlichkeitsraum in die reellen Zahlen. Beispiel: = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Augenzahl beim Wurf eines Würfels X() = 6 – 2 Interpretation: Falls gewürfelt wird, erhält man X() Geldeinheiten als Gewinn bzw. Verlust Wahrscheinlichkeitsverteilung einer ZV X Sei X: {x1,..., xr} eine ZV auf dem Wraum mit dem Wmaß P. Dann heißt das Wmaß PX auf {x1,..., xr} die Wverteilung von X, wobei Erwartungswert E(X) einer ZV X Beispiel: X: {1, 2, 3, 4, 5, 6} {4, 2, 0, -2, -4, -6} E(X) = 1/6 (4+2+0-2-4-6) = -1, d.h. à la longue ist mit einem durchschnittlichen Gewinn von –1 Geldeinheiten zu rechnen (also kein faires Spiel)
Varianz Var(X) einer ZV X Beispiel: X: {1, 2, 3, 4, 5, 6} {4, 2, 0, -2, -4, -6}, E(X) = -1 = Var(X) = 1/6(16+4+0+16+36) – 1 = 76/6 – 1 = 11,67
Zweidimensionale ZV X: R, Y: R seien ZV auf dem Wraum (, P) mit X() = {xi1 < i < r} und Y() = {yk1 < k < s}. X Y: R R heißt zweidimensionale ZV, deren gemeinsame Wverteilung gegeben ist durch Es gilt:
Kovarianz zweier ZV, stochastische Unabhängigkeit X und Y heißen (stochastisch) unabhängig genau dann, wenn für alle i und k gilt: Falls X und Y stochastisch unabhängig sind, gilt: E(XY) = E(X)E(Y) d.h. Cov(X,Y) = 0
Stochastische Modelle Empirische Erhebung (Realität) Stochastisches Modell Grundgesamtheit Wahrscheinlichkeitsraum Untersuchungseinheit Elementarereignis Merkmal Zufallsvariable Relative Häufigkeit Wahrscheinlichkeit Häufigkeitsverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung Arithmetisches Mittel Erwartungswert Empirische Varianz Varianz Ziehen von Stichproben Zufallsstichprobe aus Grundgesamtheit (Modell ziehen von Kugeln aus einer Urne – mit Zurücklegen oder ohne Zurücklegen)