Symmetrie Ein paar Begriffe Bezugsrichtung Bravais-Gitter Drehachse Drehinversionsachse Inversionszentrum Gleitspiegelebene Kristallklasse Kristallsystem Punktgruppe Raumgruppe Schraubenachse Spiegelebene Symmetrie-Elemente Translations-Symmetrie Zähligkeit Bezugsrichtung Bravais-Gitter Drehachse Drehinversionsachse Inversionszentrum Gleitspiegelebene Kristallklasse Kristallsystem Punktgruppe Raumgruppe Schraubenachse Spiegelebene Symmetrie-Elemente Translations-Symmetrie Zähligkeit

Symmetrie-Elemente Drehachse 2-zählige 3-zählige 4-zählige 6-zählige 360˚/2 360˚/3 360˚/4 360˚/6 2 3 4 5

Symmetrie-Elemente Spiegelebene Spiegelung m

= S2 (2 zählige Drehspiegelung) Symmetrie-Elemente Inversionszentrum Inversion 1 = S2 (2 zählige Drehspiegelung)

Symmetrie-Elemente Drehinversionsachse 2-zählige 3-zählige 4-zählige 360˚/2 + inversion 2 360˚/3 + inversion 3 360˚/4 + inversion 4 360˚/6 + inversion 6 = S1 m = S6 3 + 1 = S4 2 = S3 3 + m

Symmetrie-Elemente Kombinationen Ein paar Beispiele 2/m 3m 422 6m2 2 mit m senkrecht dazu 3 mit m parallel dazu 4 mit zwei 2 senkrecht dazu 6 mit m parallel und 2 senkrecht dazu Zähligkeit = 4 Zähligkeit = 6 Zähligkeit = 8 Zähligkeit = 12

Symmetrie 32 mögliche Kombinationen von Symmetrie-Elemente Kristallklassen oder Punktgruppen lassen sich in 7 Kristallsysteme einteilen 7 Kristallsystemen keine Drehachse oder Spiegelebene 2 oder m in einer Richtung 2 oder m in drei Richtungen 3-zählige Achse 4-zählige Achse 6-zählige Achse vier 3-zähligen Achsen triklin monoklin orthorhombisch trigonal tetragonal hexagonal kubisch

Symmetrie 32 mögliche Kombinationen von Symmetrie-Elemente Kristallklassen oder Punktgruppen lassen sich in 7 Kristallsysteme einteilen 7 Kristallsystemen Achsenverhältnisse die durch die Symmetrie bedingt sind z.B. 4 b a = b und γ = 90˚ γ a

Symmetrie 32 mögliche Kombinationen von Symmetrie-Elemente Kristallklassen oder Punktgruppen lassen sich in 7 Kristallsysteme einteilen 7 Kristallsystemen Achsenverhältnisse die durch die Symmetrie bedingt sind z.B. mm Spiegelebenen müssen senkrecht auf einander liegen  Winkel muss 90˚ sein usw

Symmetrie-Elemente Kombinationen 32 Kristallklassen Wie bezeichnen? keine Drehachse oder Spiegelebene triklin 2 oder m in einer Richtung monoklin 2 oder m in drei Richtungen orthorhombisch 3-zählige Achse trigonal 4-zählige Achse tetragonal 6-zählige Achse hexagonal vier 3-zähligen Achsen kubisch Achsen orientieren höchst zählige Achse oder Spiegelebene-Normal entlang [001] monoklin, orthorhombisch, trigonal, tetragonal, hexagonal vier 3-zählige Achsen entlang [111] kubisch

Symmetrie-Elemente Kombinationen 32 Kristallklassen Bedingung Kristallsystem Bezugsrichtungen keine Drehachse oder Spiegelebene triklin 2 oder m in einer Richtung monoklin 2 oder m in drei Richtungen orthorhombisch 3-zählige Achse trigonal 4-zählige Achse tetragonal 6-zählige Achse hexagonal vier 3-zähligen Achsen kubisch [001] [100] [010] [001] Achsen orientieren höchst zählige Achse oder Spiegelebene-Normal entlang [001] monoklin, orthorhombisch, trigonal, tetragonal, hexagonal vier 3-zählige Achsen entlang [111] kubisch

Symmetrie-Elemente Kombinationen 32 Kristallklassen Bedingung Kristallsystem Bezugsrichtungen keine Drehachse oder Spiegelebene triklin 2 oder m in einer Richtung monoklin 2 oder m in drei Richtungen orthorhombisch 3-zählige Achse trigonal 4-zählige Achse tetragonal 6-zählige Achse hexagonal vier 3-zähligen Achsen kubisch [001] [100] [010] [001] [001] [100] [210] [100] [010] [210] Achsen orientieren höchst zählige Achse oder Spiegelebene-Normal entlang [001] monoklin, orthorhombisch, trigonal, tetragonal, hexagonal vier 3-zählige Achsen entlang [111] kubisch

Symmetrie-Elemente Kombinationen [110] Symmetrie-Elemente Kombinationen [010] [100] 32 Kristallklassen Bedingung Kristallsystem Bezugsrichtungen keine Drehachse oder Spiegelebene triklin 2 oder m in einer Richtung monoklin 2 oder m in drei Richtungen orthorhombisch 3-zählige Achse trigonal 4-zählige Achse tetragonal 6-zählige Achse hexagonal vier 3-zähligen Achsen kubisch [001] [100] [010] [001] [001] [100] [210] [001] [100] [110] Achsen orientieren höchst zählige Achse oder Spiegelebene-Normal entlang [001] monoklin, orthorhombisch, trigonal, tetragonal, hexagonal vier 3-zählige Achsen entlang [111] kubisch

Symmetrie-Elemente Kombinationen [100] [010] [210] 32 Kristallklassen Bedingung Kristallsystem Bezugsrichtungen keine Drehachse oder Spiegelebene triklin 2 oder m in einer Richtung monoklin 2 oder m in drei Richtungen orthorhombisch 3-zählige Achse trigonal 4-zählige Achse tetragonal 6-zählige Achse hexagonal vier 3-zähligen Achsen kubisch [001] [100] [010] [001] [001] [100] [210] [001] [100] [110] [001] [100] [210] Achsen orientieren höchst zählige Achse oder Spiegelebene-Normal entlang [001] monoklin, orthorhombisch, trigonal, tetragonal, hexagonal vier 3-zählige Achsen entlang [111] kubisch

Symmetrie-Elemente Kombinationen [111] 32 Kristallklassen Bedingung Kristallsystem Bezugsrichtungen keine Drehachse oder Spiegelebene triklin 2 oder m in einer Richtung monoklin 2 oder m in drei Richtungen orthorhombisch 3-zählige Achse trigonal 4-zählige Achse tetragonal 6-zählige Achse hexagonal vier 3-zähligen Achsen kubisch [100] [001] [100] [010] [001] [001] [100] [210] [001] [100] [110] [110] [100] [111] [110] Achsen orientieren höchst zählige Achse oder Spiegelebene-Normal entlang [001] monoklin, orthorhombisch, trigonal, tetragonal, hexagonal vier 3-zählige Achsen entlang [111] kubisch

Symmetrie-Elemente Kombinationen 32 Möglichkeiten 1 1 2 m 2/m 222 mm2 2/m 2/m 2/m 3 3 32 3m 3 2/m 4 4 4/m 422 4mm 42m 4/m 2/m 2/m 6 6 6/m 622 6mm 6m2 6/m 2/m 2/m 23 m3 432 43m 4/m 3 2/m

Kristallklasse Bestimmung Drehachsen? Spiegelebene? nein nein triklin 1 oder 1 ja ja vier 3 oder 3? Drehachse höchster Zähligkeit senkrecht stellen und Achsensystem festlegen nein 2 oder m 2 oder m in 3 Richtungen 4 oder 4 3 oder 3 6 oder 6 ja monoklin [010] oder [001] orthorhombisch [100] [010] [001] trigonal/hexagonal [001] [100] [210] tetragonal [001] [100] [110] kubisch [100] [111] [110] Symmetrie entlang der möglichen Bezugsrichtungen bestimmen 2, m, 2/m 222, mm2, 2/m 2/m 2/m 23, m3, 432, 43m, 4/m 3 2/m 3, 3, 32, 3m, 3 2/m, 6, 6, 6/m, 622, 6mm, 6m2, 6/m 2/m 2/m 4, 4, 4/m, 422, 4mm, 42m, 4/m 2/m 2/m

Die 7 Kristallsystemen Symmetrie Kristallsystem Bedingungen 1 oder 1 triklin keine 2 oder m monoklin α = β = 90˚ (oder α= γ = 90˚) drei 2 oder m orthorhombisch α = β = γ = 90˚ 4 oder 4 tetragonal a = b und α = β = γ = 90˚ drei 3 oder 3 kubisch a = b = c und α = β = γ = 90˚ 3 oder 3 trigonal a = b und α = β = 90˚ und γ = 120˚ 6 oder 6 hexagonal a = b und α = β = 90˚ und γ = 120˚

Symmetrie Ein paar Begriffe Bezugsrichtung Bravais-Gitter Drehachse Drehinversionsachse Inversionszentrum Gleitspiegelebene Kristallklasse Kristallsystem Punktgruppe Raumgruppe Schraubenachse Spiegelebene Symmetrie-Elemente Translations-Symmetrie Zähligkeit Bezugsrichtung Bravais-Gitter Drehachse Drehinversionsachse Inversionszentrum Gleitspiegelebene Kristallklasse Kristallsystem Punktgruppe Raumgruppe Schraubenachse Spiegelebene Symmetrie-Elemente Translations-Symmetrie Zähligkeit Bezugsrichtung Bravais-Gitter Drehachse Drehinversionsachse Inversionszentrum Gleitspiegelebene Kristallklasse Kristallsystem Punktgruppe Raumgruppe Schraubenachse Spiegelebene Symmetrie-Elemente Translations-Symmetrie Zähligkeit

Translations-Symmetrie

Symmetrie-Elemente mit Translation Schraubenachsen 2-zählige 3-zählige 3-zählige z z z z+1/3 z+2/3 z+1/2 z+2/3 z+1/3 z+4/3 360˚/2 + Translation um 1/2 360˚/3 + Translation um 1/3 360˚/3 + Translation um 2/3 21 31 32

Symmetrie-Elemente mit Translation Schraubenachsen 4-zählige 4-zählige 4-zählige z z z z+1/4 z+2/4 z+3/4 z+3/4 z+2/4 z+6/4 z+1/4 z+9/4 z+2/4 z+4/4 z z+2/4 z+6/4 360˚/4 + Translation um 1/4 360˚/4 + Translation um 2/4 360˚/4 + Translation um 3/4 41 42 43

Symmetrie-Elemente mit Translation Schraubenachsen 6-zählige 6-zählige 6-zählige z+1/6 z+2/6 z+3/6 z z z z+2/6 z+4/6 z+6/6 z z+5/6 z+10/6 z+4/6 z+3/6 z+15/6 z+3/6 z+6/6 z z+3/6 z+9/6 z+4/6 z+2/6 z+8/6 z+12/6 z 360˚/6 + Translation um 1/6 360˚/6 + Translation um 2/6 360˚/6 + Translation um 3/6 61 62 63

Symmetrie-Elemente mit Translation Schraubenachsen 6-zählige 6-zählige z+4/6 z+5/6 z z z+8/6 z+2/6 z+10/6 z+4/6 z+20/6 z+2/6 z+25/6 z+1/6 z z+12/6 z+15/6 z+3/6 z+16/6 z+4/6 z+20/6 z+2/6 360˚/6 + Translation um 4/6 360˚/6 + Translation um 5/6 64 65

Symmetrie-Elemente mit Translation Gleitspiegelebene Translation in x + Spiegelung x x+1/2 z+1/2 Translation in z + Spiegelung z+1/2 z

Symmetrie-Elemente kombiniert mit Translation 2-zählige Drehachse kombiniert mit Translation

Symmetrie-Elemente kombiniert mit Translation 2-zählige Drehachse kombiniert mit Translation Ebenegruppe p2

Symmetrie-Elemente kombiniert mit Translation

Symmetrie-Elemente kombiniert mit Translation Ebenegruppe p2mm

Symmetrie-Elemente kombiniert mit Translation Ebenegruppe c2mm

17 Ebenegruppen p1 p2 pm pg cm p2mm p2mg p2gg c2mm p4 p4mm p4gm p3 p3m1 p31m p6 p6mm