Die Gaußverteilung

Inhalt Spezielle Verteilungen: Die Gaußverteilung (Normalverteilung) Die Poisson-Verteilung

Die Gauß-Verteilung Man nimmt mit Gauß an: Gaußkurve mit μ = 3, σ = 1 Man nimmt mit Gauß an: jede Messung zeigt zufällige Abweichungen von einem unbekannten idealen, wahren Wert, dem „Mittelwert“ Die Anzahl der Messwerte mit zunehmendem Abstand vom idealen Wert nimmt gemäß der Gauß-Verteilung ab

Die Gaußverteilung φ(x) Mittelwert der Messungen μ = 0, Standard-abweichung σ = 1 Standard-abweichung σ Die Standard-abweichung zeigt die halbe Breite der Gaußkurve bei 60% ihrer max. Höhe Mittelwert µ Die Gauß-Verteilung ist durch zwei Parameter definiert: Den Mittelwert μ der Messungen und deren Standardabweichung σ

Gaußverteilung φ(x) und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - σ) < x < (µ + σ) zu erhalten Mittelwert der Messungen μ = 0, Standard-abweichung σ = 1 Standard-abweichung σ Diese Fläche zeigt die Wahrscheinlichkeit… Mittelwert µ …. einen Wert zwischen (µ - σ) und (µ + σ) zu messen. Sie entspricht 68% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve

Gaußverteilung φ(x) und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - 2σ) < x < (µ + 2σ) zu erhalten Mittelwert der Messungen μ = 0, Standard-abweichung σ = 1 Standard-abweichung σ Diese Fläche zeigt die Wahrscheinlichkeit… Mittelwert µ …. einen Wert zwischen (µ - 2σ) und (µ + 2σ) zu messen. Sie entspricht 95% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve

Gaußverteilung φ(x) und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - 3σ) < x < (µ + 3σ) zu erhalten Mittelwert der Messungen μ = 0, Standard-abweichung σ = 1 Standard-abweichung σ Diese Fläche zeigt die Wahrscheinlichkeit… Mittelwert µ …. einen Wert zwischen (µ - 3σ) und (µ + 3σ) zu messen. Sie entspricht 99,7% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve

Intervallbreite um den Mittelwert µ Wahrscheinlichkeiten, Messwerte innerhalb eines Intervalls von ±1, ±2, ±3 Standardabweichungen um den Mittelwert zu erhalten Intervallbreite um den Mittelwert µ Wahrscheinlichkeit einen Messwert innerhalb dieses Intervalls zu erhalten ±1 σ 68% ±2 σ 95% ±3 σ 99,7% Beispiel: Bei 1000-facher Wiederholung der gleichen Messung sind 997 Messwerte innerhalb eines Intervalls der Breite von ± drei Standard-Abweichungen um den Mittelwert zu erwarten, nur 3 mit einem größeren Abstand

Standardabweichung der Messwerte Standardabweichung der N Messwerte xn Bei Normal-verteilten Daten ist die Standardabweichung σ ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, in einer weiteren Messung einen Messwert im Intervall ±σ um den Mittelwert μ zu erhalten

Standardabweichung des Mittelwerts Standardabweichung des Mittelwerts zu N Messwerten xn Folge: Um die Standardabweichung des Mittelwerts auf die Hälfte zu reduzieren, ist die vierfache Anzahl von Beobachtungen erforderlich

Zusammenfassung Bei Normal-verteilten Messwerten gilt: Legt man ein Intervall der Breite ± N·σ um den Mittelwert µ, dann erwartet man bei mehrfacher Wiederholung der Messung für N=1 68 % N=2 95 % N=3 99,7 % der Messwerte innerhalb, den Rest außerhalb des Intervalls Die Standardabweichung σµ des Mittelwerts ist σµ = σ / Wurzel(N) Das heißt, um σµ auf die Hälfte zu reduzieren bedarf es der 4-fachen Anzahl der Messwerte!

finis Q: Welche medizinisch relevante Information zeigt die Folge der Histogramme? A: Bei etwa konstantem Mittelwert steigt die Breite der Verteilung: Das heißt, sie zunehmend ältere, aber auch jüngere Patienten erhalten Hüftendoprothesen Quelle: http://www.diss.fu-berlin.de/diss/servlets/MCRFileNodeServlet/FUDISS_derivate_000000002900/1_Kapitel_1.pdf