Strömung realer Flüssigkeiten Laminare Strömung Das Hagen-Poiseuille Gesetz Stoke Gesetz

Inhalt Laminare Strömung in einem Rohr Kräftegleichgewicht zwischen Druck- und Reibungskraft Das Geschwindigkeitsprofil Volumenstromstärke als Funktion des Radius Das Hagen-Poiseuille Gesetz

Materialtransport durch Strömung in einem Rohr l [m] R [m] sowas Das Gewicht auf der linken Seite halte den Druck (einigermaßen) konstant

Die Druckkraft ist im Gleichgewicht mit der Reibungskraft Kräfte zur Bewegung eines Zylinders mit Radius r und Abtand dr von der Wand bei laminarer Strömung p1 p2 Druckkraft Reibungskraft dr r l Die Druckkraft ist im Gleichgewicht mit der Reibungskraft

Kräfte zur Bewegung eines Zylinders laminarer Strömung Einheit 1 N Reibungskraft bei laminarer Strömung (Newtonsche Gleichung) Druckkraft auf die Deckfläche des Zylinders mit Radius r· 1 m2 Fläche des Zylindermantels der Länge l Die Druckkraft überwindet die Reibungskraft zwischen dem Zylindermantel und dessen benachbarter Schicht

Zerlegung der Strömung in einzelne Zylinder v(r) Geschwindigkeitsprofil für ebene Schichten l Die Strömung wird von außen nach innen in Zylinder mit gleichem Abstand dr zerlegt Laminare Strömung: Geschwindigkeit an der Wand null, zur Mitte zunehmend In jedem Zylinder ist die Druckkraft im Gleichgewicht mit der Reibungskraft zum äußeren, langsameren Zylinder Zur Mitte wird die Geschwindigkeitszunahme kleiner, weil die Druckkraft proportional zur Zylinderfläche πr2, die Reibungskraft (weniger schnell) mit der Mantelfläche 2π·l·r abnimmt

Viele Zylinder im Abstand dr : Die Reibungs- ist gleich der Druckkraft in jedem Zylinder Die Reibungs- ist entgegengesetzt gleich der Druckkraft 1 m/s Differentialgleichung für v, r Integration von außen bei v=0 m/s nach innen (der Index i bezeichnet die Integrations-Variablen) Geschwindigkeit bei Radius r Das Geschwindigkeitsprofil im Rohr ist Parabel förmig

Geschwindigkeitsprofil im Rohr bei Strömung mit viskoser Reibung 1 m/s Parabelförmiges Geschwindigkeitsprofil als Funktion von r p1 p2 R r v(r) dr r l

Berechnung der Volumenstromstärke v(r) · dt dV dr r 1 m3/s Volumenstromstärke 1 m3 Fluss durch einen Kreisring mit Radius r und Dicke dr in der Zeit dt Volumenstromstärke durch den Kreisring

Integration der Volumenstromstärke Integration über den Radius Die Geschwindigkeit eingesetzt Volumen-stromstärke im Rohr mit Radius R Die Volumenstromstärke im Rohr nimmt mit der vierten Potenz des Radius zu

Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz p2 [Pa] l [m] R [m] p1 [Pa] I=ΔV/Δt [m3/s] Einheit 1 m3/s Die Volumenstromstärke in einem Rohr nimmt mit der vierten Potenz des Radius zu sowas Das Gewicht auf der linken Seite halt den Druck (einigermaßen) konstant

Volumenstromstärken in zwei Rohren mit Radienverhältnis 1,5 : 1 Zeit [s] R=1,5 [mm] 5 1 R=1 [mm] sowas Verhältnis der Radien 1,5:1 Verhältnis der Zeiten zur Füllung1,54:14 = 5:1

Zusammenfassung Das Hagen-Poiseuille Gesetz beschreibt die laminare Strömung viskoser Medien in Rohren Die Bewegung des Mediums erfordert Kraft gegen die Reibung Bei Strömung eines viskosen Mediums fällt deshalb der Druck im Rohr proportional zur Länge ab Das Geschwindigkeitsprofil als Funktion des Radius ist Parabel förmig Die Volumenstromstärke ist proportional zur vierten Potenz des Radius, I = π·Δp·R4 / ( 8·η·l ) Volumenstromstärke I = ΔV/Δt [m3/s] Rohr mit Radius R [m] und Länge l [m] Druckunterschied zu beiden Seiten des Rohrs Δp [Pa] Viskosität des Mediums η [Pa·s] Der Transport erfordert Arbeit, W = Δp·V Δp [Pa] Druckunterschied zwischen Anfang und Ende der Leitung V [m3] transportiertes Volumen des Materials

finis Zeit [s] R=1,5 [mm] 5 1 R=1 [mm] sowas Verhältnis der Radien 1,5:1 Verhältnis der Zeiten zur Füllung1,54:14 = 5:1