Folie 1 Kapitel IV. Matrizen Inhalt: Matrizen als eigenständige mathematische Objekte Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen Produkt von Matrizen Inverse Matrix Basiswechsel

Folie 2 §18 Der Vektorraum der Matrizen Im folgenden ist K stets ein Körper und V, W,... sind Vektorräume über K. (18.1) Notation: n bezeichne im folgenden den durch n aus N bestimmten Abschnitt der natürlichen Zahlen, also die Menge Das fett n wird dabei auch normal geschrieben. Also: Matrizen lassen sich einführen als Hilfsmittel zur Beschreibung von linearen Abbildungen und auch als solche untersuchen (vgl. § 19). Wir wollen Matrizen zunächst als eigenständige mathematische Objekte verstehen. Wichtig, wie an vielen Stellen in Mathematik und Physik, sind dazu die Indizes und Doppelindizes: n := {1, 2,..., n} n = {1, 2,..., n} und

Folie 3 Kapitel IV, §18 Eine solche Matrix A ist also durch die Werte vollständig bestimmt. In der Regel in einem Rechteckschema: (18.2) Definition: Eine (m,n)-Matrix A (mit Koeffizienten aus K) ist eine Abbildung An diese Notation werden wir uns halten. (Eine Vertauschung von n und m wäre auch denkbar, eine Aneinanderreihung der Werte in einer Zeile oder in einer Spalte wäre ebenfalls korrekt, - aber unüblich.) Bemerkung: Diese Werte – und damit die Matrix A – können auf verschiedene Wiese notiert werden.

Folie 4 Kapitel IV, §18 Die Schreibweise der Koeffizienten A(i,j) ist beliebig. Ziemlich verbreitet ist es, die A(i,j) mit kleinem Buchstaben und tiefgestellten Indizes zu schreiben, zumindestens in der Mathematik: Also statt A(i,j) : a ij. Je nach Anwendung sind aber auch a i j, a ij oder a i j gebräuchlich. Addition: Für A und B aus K mxn ist Skalarmultiplikation: Für A aus K mxn und t aus K ist Unsere Konvention (Physikernotation in Falle von Koordinaten eines Konfigurationsraumes) in Abweichung von Kap. I - III: (18.3) Bemerkungen: Die Menge aller (m,n)-Matrizen ist K mxn ; sie besitzt daher in natürlicher Weise die Struktur eines K-Vektorraums.

Folie 5 Kapitel IV, §18 Definiert (sukzessives Durchzählen der Reihen). (18.4) Lemma: Für natürliche Zahlen genau mn Elemente. (18.5) Folgerung: Der Vektorraum K mxn der (m,n)-Matrizen hat die Dimension mn. Er ist isomorph zu K mn und auch zu (K m ) n und (K n ) m. Die Standardbasis von K mxn ist {E j i : i aus m und j aus n}, wobei E j i ist die folgende Matrix: In der Zeile i lauter Nullen außer einer 1 in Position j (Spalte j); ansonsten nur Nullen. Anders ausgedrückt: Alle Spalten sind 0 außer der j-ten Spalte. Diese ist der i-te Standardeinheitsvektor von K m. Durch f(i,j) := (j - 1)n + i,, wird eine Bijektion Es gilt für A aus K mxn :