Folie 1 §15 Lineare Abbildungen (15.1) Definition: Eine Abbildung f zwischen K-Vektorräumen V und W ist linear (oder ein Vektorraumhomomorphismus), wenn.

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1 Folie 1 §15 Lineare Abbildungen (15.1) Definition: Eine Abbildung f zwischen K-Vektorräumen V und W ist linear (oder ein Vektorraumhomomorphismus), wenn für alle Vektoren x,y aus V und alle Skalare s,t aus dem Körper K gilt: f(sx + ty) = sf(x) + tf(y). (15.2) Bemerkungen, Beispiele: 1 o Eine lineare Abbildung f ist insbesondere ein Gruppenhomomorphismus, sie berücksichtigt zusätzlich noch die Skalarmultiplikationen. 4 o Die Komposition linearer Abbildungen ist linear. 2 o Ein spezielles Beispiel: 3 o Sei f linear. Dann gilt f(0) = 0 und 5 o Sei f linear und bijektiv. Dann ist die Umkehrabbildung f –1 ebenfalls linear.

2 Folie 2 Kapitel III, §15 f(s 1 b 1 + s 2 b 2 +... + s n b n ) := s 1 w 1 + s 2 w 2 +... + s n w n (15.3) Definition: Sei f eine lineare Abbildung zwischen den K- Vektorräumen V und W. f heißt (15.4) Lemma: {b 1, b 2,..., b n } sei eine Basis von V. Dann wird für jedes n-Tupel (w 1, w 2,..., w n ) von Vektoren aus W durch Jede lineare Abbildung von V nach W hat diese Form. eine lineare Abbildung definiert. 1 o Isomorphismus, wenn f bijektiv ist. 3 o Monomorphismus, wenn f injektiv ist. 4 o Endomorphismus, wenn V = W gilt. 5 o Automorphismis, wenn V = W gilt, und f bijektiv ist. 2 o Epimorphismus, wenn f surjektiv ist. Eine analoge Aussage gilt für unendlichdimensionale Vektorräume V. (15.5) Lemma: Die Menge Hom(V,W) := {f ist linear Abbildung von V nach W} ist ein Untervektorraum von K M.

3 Folie 3 Kapitel III, §15 (15.6) Definition: Sei f eine lineare Abbildung zwischen den K- Vektorräumen V und W. (15.7) Lemma: Sei f linear, A Teilmenge aus V. 1 o Ker f := f –1 (0), Kern von f. 2 o Im f := f(V), Bild von f. (15.8) Satz: 1 o Zwei endlichdimensionale K-Vektorräume sind genau dann isomorph, wenn sie gleichdimensional sind. 1 o Ker f und Im f sind Untervektorräume von V bzw. W. 3 o f(Span(A)) = Span(f(A)). 4 o Wenn E Erzeugendensystem von V ist, so ist f(E) Erzeugendensystem von Im f. 5 o A ist linear unabhängig, wenn das für f(A) gilt. 2 o f ist injektiv, genau dann wenn Ker f = {0}. 6 o f(A) ist linear unabhängig, wenn das für A gilt und wenn f injektiv ist.

4 Folie 4 Kapitel III, §15 (15.9) Äquivalenzsatz für lineare Abbildungen: Für gleichdimensio- nale K-Vektorräume V und W von endlicher Dimension sind die folg- enden Aussagen für lineare Abbildungen f von V nach W äquivalent: 2 o Jeder endlichdimensionale K-Vektorraum V ist zu einem K n isomorph mit n = dim V. (15.10) Satz (Dimensionsformel): Für eine lineare Abbildung f von V nach W gilt: 1 o f ist injektiv. 3 o f ist bijektiv. 2 o f ist surjektiv. (15.9) Bemerkung: Jeder K-Vektorraum ist isomorph zu K (B), wobei B eine Basis von V ist. Mehr Information liegt in der Dimensionsformel, die auch für unendlichdimensionale gültig ist: dim Ker f + dim Im f = dim V