Geoinformation II Vorlesung 4 SS 2001 Voronoi-Diagramme

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4 Übersicht Zu Beginn eine interaktive Animation Voronoi-Diagramm: Motivation Voronoi-Diagramm Anwendungen Delaunay-Triangulation, konvexe Hülle Eigenschaften von Voronoi-Diagrammen Voronoi Regionen (Polygone) Konstruktion des Voronoi-Diagramms Was ist der schwierigste Teilschritt? Aufteilung der Menge P in P1 und P2 Voronoi-Diagramm von P1 Voronoi-Diagramm von P2 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4

Zu Beginn eine interaktive Animation Quelle: Fern Universität Hagen http://wwwpi6.fernuni-hagen.de/Geometrie-Labor/VoroGlide/ Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4

Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle? Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4

Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle? Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4

Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle? Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4 Voronoi-Diagramm Gegeben ist eine Menge von n Punkten Das Voronoi-Diagramm zerlegt die Ebene in Gebiete gleicher nächster Nachbarn Die Voronoi-Region eines Punktes p enthält alle Punkte q, die näher an p als an jedem anderen Punkt p‘ liegen Das Voronoi-Diagramm wird gebildet aus den Voronoi-Regionen und ihren begrenzenden Voronoi-Knoten und –Kanten Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4 Anwendungen Kollosionsproblem: welche 2 Punkte haben den kleinsten Abstand (Roboter, Flugzeuge, ...) Das Filialenschließungsproblem ... Postamts-Problem: wo liegt das nächste Postamt (Krankenhaus, ...) Einzugs- und Einflußgebiete von Versorgungsstationen (und ihre Größe) Bewertung von Standorten Modellierung von „Nähe“ Delaunay-Triangulation Konvexe Hülle Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4

Delaunay-Triangulation, konvexe Hülle Delaunay-Triangulation ist die Triangulation, bei der der kleinste Winkel maximal ist In gewiser Weise die best-mögliche Triangulation Konvexe Hülle einer Punktmenge M ist die kleinste konvexe Punktmenge, die alle Elemente aus M enthält Eine Punktmenge M ist konvex, wenn jede gerade Verbindung zweier Elemente p und q ganz in M liegt Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4

Eigenschaften von Voronoi-Diagrammen Vereinfachende Annahme: aus der gegebenen Punktmenge liegen keine 4 Elemente auf einem gemeinsamen Kreis Jeder Voronoi-Knoten hat genau drei Kanten Das Voronoi-Diagramm von n Punkten hat höchstens 2n – 4 Knoten und 3n – 6 Kanten (linear!) Die Knoten mit unbeschränkten Regionen bilden die konvexe Hülle Der „Duale Graph“, bei dem benachbarte Punkte miteinander verbunden werden, bildet eine Delaunay-Triangulation Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4

Voronoi Regionen (Polygone) beschränkte Voronoi Regionen unbeschränkte Voronoi Regionen Die Konvexe Hülle ver- bindet die unbeschränkten Voronoi Regionen Jede Voroni-Region ist konvex! Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4

Konstruktion des Voronoi-Diagramms „Divide and Conquer“ Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten Divide: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P1 und P2 Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von P1 und P2 Merge: Verknüpfe die in 3 gebildeten Diagramme Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist, dies ist die ganze Ebene Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen? log n mal O(n * log n) wenn „Divide“ and „Merge“ nicht mehr als n Schritte benötigen, Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4

Was ist der schwierigste Teilschritt? Zerlegung der Punktmenge in gleich große Teilmengen Sortieren nach x-Koordinate Bilden des Medians Einfach Offenbar der letzte Schritt: „Merge“: Konstruktion des trennenden Kantenzuges Einfachster Fall von Merge: jede der beiden Teilmengen enthält genau einen Punkt der trennende Kantenzug ist die Mittelsenkrechte beider Punkte Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4

Aufteilung der Menge P in P1 und P2 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4

Voronoi-Diagramm von P1 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4

Voronoi-Diagramm von P2 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 4