Zeit: 13h-15h Datum: 6.11.08 Raum: IFW B42 Linear Algebra HS08 8. Übungsstunde Zeit: 13h-15h Datum: 6.11.08 Raum: IFW B42

Organisatorisches Wechsel des Dozenten und Hauptassistenten Prof. Marc Pollefeys Vorlesung in Englisch Roland Angst

Organisatorisches Theoretische Aufgaben Praktische Aufgaben Behebe klar ersichtliche Fehler (Gegenprobe) Nicht einfach im Kommentar Rechenfehler erwähnen Lösungsweg sollte klar ersichtlich sein Praktische Aufgaben gesunden Menscherverstand einsetzen Nicht eingebaute Matlab-Funktion aufrufen um eigentliche Aufgabe zu umgehen In Zukunft striktere Korrektur

Neue Übung (Serie 7) Spätester Abgabetermin: 20. November 2008 3 theoretische + 1 praktische Aufgaben

Repetition: Vektorraum Nichtleere Menge mit zwei Operationen Addition: Skalare Multiplikation: Mit 8 Axiomen V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 Skalarenkörper

Beispiele Im Intervall [a,b] definierte, stetig reelle Funtionen Punktweise Addition Punktweise skalare Multiplikation: Im Intervall [a,b] m-mal stetig differenzierbare Funktionen Polynome mit maximalem Grad m Details siehe später

Körper Nichtleere Menge mit zwei Operationen Addition: Multiplikation: Mit 10 Axiomen

Definitionen Linearkombination einer Vektormenge Beispiel

Definitionen Aufgespannter (oder erzeugter) Unterraum einer Vektormenge Menge aller möglichen Linearkombinationen Beispiele Polynome vom max. Grad m Spalten einer Matrix (siehe Aufg. 7.1 & 7.2.b)

Definitionen Linear unabhängige Vektormenge Linear abhängige Vektormenge ist Linearkombination der restlichen Vektoren

Aufgabe 7.1 Abhängigkeiten von Vektoren Linear abhängig? Nicht-triviale Lösung für Errinnerung: Aufgespannter Unterraum einer Vektormenge

Aufgabe 7.1 Abhängigkeiten von Vektoren Linear abhängig? Nicht-triviale Lösung für Rang von A < n  Mittels Gauss-Elimination zu bestimmen Linear unabhängig? Rang von A = n (vollen Spaltenrang) Erzeugend? Jeder Vektor des Vektorraums lässt sich als Linearkombination des Erzeugendensystems darstellen Gleichungssystem hat Lösung für jede RHS  Rang von A = m (vollen Zeilenrang)

Aufgabe 7.1 Linear unabhängig Rang von A = n (vollen Spaltenrang) = • Linear abhängig Rang von A < n (nicht triviale Lösungen) = • Erzeugend Rang von A = m (vollen Zeilenrang) = • Basis reguläre Matrix Rang von A = n Beispiel = •

Aufgabe 7.2 Unterräume Ein Unterraum ist selbst auch ein Vektorraum Nichtleere Teilmenge U eines Vektorraums V die bzgl. Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist Ein Unterraum ist selbst auch ein Vektorraum Ja, {o} ist ein Unterraum und zwar von JEDEM Vektorraum

Aufgabe 7.2 Wie zeigt man ob U ein Unterraum von V ist? Beispiele Abgeschlossen bzgl. Addition Abgeschlossen bzgl. Skalarer Multiplikation Beispiele Ist der Nullraum ein Unterraum? Falls ja, von welchem Vektorraum? Lösungsmenge eines homogenen Gleichungssystems ? Beweis, Gegenbeispiel? Ja, {o} ist ein Unterraum und zwar von JEDEM Vektorraum A(x+y) = Ax + Ay = 0 + 0 A(alpha x) = alpha A X = alpha 0 = 0

Aufgabe 7.2 Aufgabe 7.2.a Aufgabe 7.2.b Zeige wieso Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems kein Unterraum ist Aufgabe 7.2.b Zeige, dass ein Unterraum ist. Ja, {o} ist ein Unterraum und zwar von JEDEM Vektorraum A(x+y) = Ax + Ay = 0 + 0 A(alpha x) = alpha A X = alpha 0 = 0

Aufgabe 7.3 = Vektorraum der Polynome vom maximalen Grad m Addition Skalare Multiplikation Rein algebraische Definition Potenzen sind “Platzhalter” Dimension dieses Vektorraums? Dimension dieses Vektorraums: m+1

Aufgabe 7.3.a Basis für Polynom-Vektorraum Standardbasis Erzeugend Linear unabhängig Standardbasis Monome: Dimension dieses Vektorraums: m+1

Aufgabe 7.3.a Vektorraum: Mögliche Basis: Tipp: Satz 4.12 Jeder Vektor? Wähle Monombasis Dimension dieses Vektorraums: m+1

Aufgabe 7.3.a Zu zeigen Jedes Polynom in Monombasis impliziert eine eindeutige Linearkombination bzgl. Basispolynomen der anderer Basis ist bekannt in Monombasis Einsetzen Koeffizientenvergleich der Monomterme Liefert Gleichungssystem für Dimension dieses Vektorraums: m+1

Aufgabe 7.3.b Trivial, wenn 7.3.a gelöst… Dimension dieses Vektorraums: m+1

Aufgabe 7.3.c Polynom in unserer Basis Gegeben 4 Funktionswerte yi an 4 verschiedenen Stellen ti 4 Bedingungen… Dimension dieses Vektorraums: m+1

Aufgabe 7.4 Matlab-Aufgabe 2 Funktionen Implementiere Vorgehen in Aufgabe 3.c in Matlab Für beliebig viele Basispolynome der gegebenen Form (d.h. auch für mehr als m = 3) 2 Funktionen a = interpol(t,f) A: Koeffizienten t: Stützstellen f: Funktionswerte f = eval_poly(a,t,tau) A: Koeffizienten t: Stützstellen tau: Auswertestellen f: Funktionswerte Dimension dieses Vektorraums: m+1

Aufgabe 7.4 Wie kann diese Polynombasis effizient ausgewertet werden? Dimension dieses Vektorraums: m+1

Serie 6 Abgabe nächste Woche Fragen? Probleme?

Vorlesung Fragen? Probleme?

Nachbesprechung Serie 4 Bestimme sodass orthogonal ist Mehrere Bedingungen an Sind alle erfüllt? Fallunterscheidungen Komplexe Zahlen x liegt auf Einheitskreis der komplexen Ebene

Nachbesprechung Serie 4 Matlab-Aufgabe Forward- und Backwardsubstitution Matrixprodukte anstatt Schleifen Gesunder Menschenverstand welche eingebauten Matlabfunktionen verwendet werden können!

Nachbesprechung Serie 4 Individuelle Fehler Bei Unklarheiten zur LR-Zerlegung Skript Mich fragen Genereller Tipp Den Zug nicht abfahren lassen Lücken aufarbeiten um der Vorlesung folgen zu können