Hyperbelfunktionen Simone Kopp Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg

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 Präsentation transkript:

Hyperbelfunktionen Simone Kopp Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg PS Analysis, WS 08/09 Dozentin: PD Dr. Gudrun Thäter

Inhalt Motivation Hyperbelfunktionen Zusammenhang Umkehrfunktionen Geometrische Definition

Bedeutung von Hyperbel Griechisch: ὑπερβολή, hyperbolé – die Übertreffung, Übertreibung, von altgriechisch hyperbállein - übertreffen

Anwendung Spinnweben Kettenlinie: Griechische Tempelsäulen Hochspannungsleitungen Stahlseile

Kettenlinie Homogenes Seil hängt wegen Eigenlast durch und beschreibt eine Kosinus- Hyperbolicus Funktion Kettenlinie = Seilkurve

Kettenlinie y -Achse x -Achse a a = positive Konstante

Hyperbelfunktionen Kosinus Hyperbolicus (cosh) Sinus Hyperbolicus (sinh) Tangens Hyperbolicus (tanh) Cotangens Hyperbolicus (coth) Sekans Hyperbolicus (sech) Kosekans Hyperbolicus (csch)

Kosinus Hyperbolicus Gerade Funktion f(x)=f(-x) Def.bereich:   Gerade Funktion f(x)=f(-x) Def.bereich: – ∞ < x < +∞ Wertebereich: 1≤ f(x) < +∞

Sinus Hyperbolicus Ungerade Funktion f(x)=-f(-x) Def.bereich: Wertebereich: – ∞ < f(x) < +∞

Tangens Hyperbolicus Def.bereich: – ∞ < x < +∞ Wertebereich: – 1 < f(x) < +1

Cotangens Hyperbolicus Def.bereich: – ∞ < x < +∞ ; x ≠ 0 Wertebereich: – ∞ < f(x) < – 1 ; 1 < f(x) < + ∞

Zusammenhang Additionstheoreme:

Zusammenhang Differentiationsformeln:

Zusammenhang Viele Übereinstimmungen zu Sinus und Kosinus, usw Name: Sinus Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus, usw

Umkehrfunktionen werden Areafunktionen genannt (lat. area –Fläche) Area Kosinus Hyperbolicus (arcosh) Area Sinus Hyperbolicus (arsinh) Area Tangens Hyperbolicus (artanh) Area Cotangens Hyberbolicus (arcoth)

Umkehrfunktionen

Umkehrfunktionen

Einheitshyperbel/Einheitskreis

Geometrische Definition tanh(a)

Einheitshyperbel

Einheitshyperbel sin, cos, tan sinh, cosh, tanh

Einheitshyperbel sin, cos, tan sinh, cosh, tanh

Einheitshyperbel sin, cos, tan sinh, cosh, tanh

Einheitshyperbel sin, cos, tan sinh, cosh, tanh

Einheitshyperbel- sinh & cosh sinh cosh Argument

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