Hyperbelfunktionen Simone Kopp Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg PS Analysis, WS 08/09 Dozentin: PD Dr. Gudrun Thäter
Inhalt Motivation Hyperbelfunktionen Zusammenhang Umkehrfunktionen Geometrische Definition
Bedeutung von Hyperbel Griechisch: ὑπερβολή, hyperbolé – die Übertreffung, Übertreibung, von altgriechisch hyperbállein - übertreffen
Anwendung Spinnweben Kettenlinie: Griechische Tempelsäulen Hochspannungsleitungen Stahlseile
Kettenlinie Homogenes Seil hängt wegen Eigenlast durch und beschreibt eine Kosinus- Hyperbolicus Funktion Kettenlinie = Seilkurve
Kettenlinie y -Achse x -Achse a a = positive Konstante
Hyperbelfunktionen Kosinus Hyperbolicus (cosh) Sinus Hyperbolicus (sinh) Tangens Hyperbolicus (tanh) Cotangens Hyperbolicus (coth) Sekans Hyperbolicus (sech) Kosekans Hyperbolicus (csch)
Kosinus Hyperbolicus Gerade Funktion f(x)=f(-x) Def.bereich: Gerade Funktion f(x)=f(-x) Def.bereich: – ∞ < x < +∞ Wertebereich: 1≤ f(x) < +∞
Sinus Hyperbolicus Ungerade Funktion f(x)=-f(-x) Def.bereich: Wertebereich: – ∞ < f(x) < +∞
Tangens Hyperbolicus Def.bereich: – ∞ < x < +∞ Wertebereich: – 1 < f(x) < +1
Cotangens Hyperbolicus Def.bereich: – ∞ < x < +∞ ; x ≠ 0 Wertebereich: – ∞ < f(x) < – 1 ; 1 < f(x) < + ∞
Zusammenhang Additionstheoreme:
Zusammenhang Differentiationsformeln:
Zusammenhang Viele Übereinstimmungen zu Sinus und Kosinus, usw Name: Sinus Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus, usw
Umkehrfunktionen werden Areafunktionen genannt (lat. area –Fläche) Area Kosinus Hyperbolicus (arcosh) Area Sinus Hyperbolicus (arsinh) Area Tangens Hyperbolicus (artanh) Area Cotangens Hyberbolicus (arcoth)
Umkehrfunktionen
Umkehrfunktionen
Einheitshyperbel/Einheitskreis
Geometrische Definition tanh(a)
Einheitshyperbel
Einheitshyperbel sin, cos, tan sinh, cosh, tanh
Einheitshyperbel sin, cos, tan sinh, cosh, tanh
Einheitshyperbel sin, cos, tan sinh, cosh, tanh
Einheitshyperbel sin, cos, tan sinh, cosh, tanh
Einheitshyperbel- sinh & cosh sinh cosh Argument
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